2.Na renderização de uma cena 3D,as posições dos objetos estão definidas em uma base local dada por:
v1=(1,1,1), v2=(1,-1,0), v3=(0,1,-1)
Um objeto está posicionado no ponto p=(2,0,1) .Encontre as coordenadas de p na base local.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base local no espaço 3D formada pelos vetores
v1=(1,1,1), v2=(1,-1,0) e v3=(0,1,-1),
e pede para expressar o ponto p=(2,0,1) como combinação linear desses vetores.
Ou seja, queremos achar escalares a,b,c tais que
p=a,v1+b,v2+c,v3

Passo 2

Escrevendo a combinação linear componente a componente, obtemos o sistema
a + b = 2, a - b + c = 0, a - c = 1

Passo 3

Da terceira equação ,a - c = 1 temos
c = a - 1
Substituindo em a - b + c = 0
a - b + (a - 1) = 0 Longrightarrow 2a - b = 1 Longrightarrow b = 2a - 1
Finalmente, usando a + b = 2 e b=2a-1:
a + (2a - 1) = 2 Longrightarrow 3a = 3 Longrightarrow a = 1,
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b = 2cdot1 - 1 = 1, c = 1 - 1 = 0

Passo 4

Para checar, substituímos a=1, b=1, c=0 em
1cdot(1,1,1) + 1cdot(1,-1,0) + 0cdot(0,1,-1) = (1+1,,1-1,,1+0) = (2,0,1),
que de fato retorna p.

Resposta

As coordenadas de p na base v1,v2,v3 são
(1,,1,,0)

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