3 Questão - [Vale 2,0 pontos] Dada a função
f(x)=x^{2} \cdot \ln (x)
responda os itens abaixo:
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Calcule f^{\prime}(x).
(c) Resolva a equação $f^{\prime}(x)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x^{2}\ln(x)
e pede: (a) o domínio, (b) a derivada f'(x) e (c) resolver f'(x)=0. Vamos usar o fato de que \ln(x) só existe para x>0, aplicar a regra do produto para derivar e depois resolver uma equação simples em x.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que \ln(x) está definida apenas para x>0. Como x^{2} não impõe restrições, o domínio é
(0,\infty).

Passo 3

Para calcular f'(x), usamos a regra do produto em x^{2} e \ln(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\,\ln(x) + x^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr) = 2x\,\ln(x) + x^{2}\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x = x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).

Passo 4

Para resolver f'(x)=0, colocamos
x\bigl(2\ln(x)+1\bigr)=0.
Como x>0, não podemos ter x=0. Logo a única solução vem de
2\ln(x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{-\tfrac12}.

Resposta

(a) (0,\infty)
(b) f'(x)=x\bigl(2\ln(x)+1\bigr)
(c) x=e^{-\tfrac12}

Exercícios relacionados