2.1J Se u(x, y) e v(x, y) são funções com derivadas parciais contínuas até a 2^a ordem e satisfazem às equações ux=vy e uy=-vx, mostre que u e v atendem à equação de Laplace.

1.2 Funções Diferenciáveis

Passo 1

O enunciado diz que as funções u(x,y) e v(x,y) têm derivadas parciais até a segunda ordem contínuas e satisfazem às equações de Cauchy–Riemann
ux = vy, uy = -,vx
Queremos mostrar que ambas são harmônicas, isto é, que vale
De<a u = uxx+uyy=0, De<a v = vxx+vyy=0
Para isso, usaremos as próprias equações de Cauchy–Riemann e o teorema de igualdade de derivadas parciais mistas (Clairaut), que diz que fxy=fyx sempre que as derivadas até segunda ordem forem contínuas.

Passo 2

Provar que De<a u=0.
  1. Diferencie ux=vy em relação a x:
uxx = vyx
  1. Diferencie uy=-,vx em relação a y:
uyy = -,vxy
  1. Some as duas expressões:
uxx+uyy = vyx - vxy
Pela continuidade das segundas derivadas de v, temos vyx=vxy. Logo
uxx+uyy=0,
isto é, De<a u=0.

Passo 3

Provar que De<a v=0.
  1. Diferencie ux=vy em relação a y:
uxy = vyy
  1. Diferencie uy=-,vx em relação a x:
uyx = -,vxx
  1. Pela igualdade uxy=uyx, segue
vyy = -,vxx Longrightarrow vxx+vyy=0,
ou seja, De<a v=0.

Resposta

As funções u e v satisfazem à equação de Laplace:
De<a u = uxx+uyy = 0, De<a v = vxx+vyy = 0

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