2.1J Se
e
são funções com derivadas parciais contínuas até a
ordem e satisfazem às equações
e
, mostre que
e
atendem à equação de Laplace.
1.2 Funções Diferenciáveis
Passo 1
O enunciado diz que as funções
e
têm derivadas parciais até a segunda ordem contínuas e satisfazem às equações de Cauchy–Riemann
Queremos mostrar que ambas são harmônicas, isto é, que vale
Para isso, usaremos as próprias equações de Cauchy–Riemann e o teorema de igualdade de derivadas parciais mistas (Clairaut), que diz que
sempre que as derivadas até segunda ordem forem contínuas.
Passo 2
Provar que
.
- Diferencie
em relação a :
- Diferencie
em relação a :
- Some as duas expressões:
Pela continuidade das segundas derivadas de
, temos
. Logo
isto é,
.
Passo 3
Provar que
.
- Diferencie
em relação a :
- Diferencie
em relação a :
- Pela igualdade
, segue
ou seja,
.
Resposta
As funções
e
satisfazem à equação de Laplace: