1. Calcule os valores máximo e mínimo da função g(x)=integral0^x^2 e^s d s no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integral0^x^2e^s,ds
no intervalo [-1,1].
Queremos encontrar os pontos de máximo e mínimo usando o Teorema Fundamental do Cálculo e estudo de derivada.

Passo 2

Calculamos a integral explicitamente. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
g(x)=integral0^x^2e^s,ds=l[e^sr]0^x^2=e^x^2-e^0=e^x^2-1

Passo 3

Derivamos g para achar pontos críticos:
g'(x)=ddxl(e^x^2-1r)=2x,e^x^2
Igualando a zero, g'(x)=0 2x,e^x^2=0, ou seja x=0. Também consideramos as extremidades x=-1 e x=1.

Passo 4

Avaliamo-s g nesses pontos:
g(0)=e^0-1=0, g(pm 1)=e^1-1=e-1
Como e-1>0, o valor m’inimo 'e 0 em x=0 e o m’aximo 'e e-1 em x=-1 e x=1.

Resposta

Valor mínimo: 0 em x=0.
Valor máximo: e-1 em x=-1 e x=1.

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