1. (1+ln x+yx) d x=(1-ln x) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(1+ln x + tfracyxr),dx ;=;(1-ln x),dy
Esse é um caso típico de equação exata, pois podemos escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, temos
M(x,y)=1+ln x + yx, N(x,y)=-(1-ln x)
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1x, partial Npartial x = -ddx(1-ln x) = 1x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M e psiy = N.
Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral!l(1+ln x + yxr),dx = integral 1,dx + integral ln x,dx + yintegral 1x,dx = x + (xln x - x) + yln x + h(y),
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psi(x,y) = xln x + yln x + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), usamos psiy = N:
psiy = ln x + h'(y) = -(1-ln x) = ln x - 1
Isso dá h'(y)=-1, logo
h(y) = -y + C1

Passo 5

A solução geral implícita é
psi(x,y)=C ;Longrightarrow; xln x + yln x - y = C
Se desejar, isole y:
y(ln x -1) = C - xln x Longrightarrow y = C - xln xln x -1

Resposta

xln x + yln x - y = C,
ou equivalentemente
y = C - xln xln x -1

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