Use a linearidade e as transformadas de Laplace conhecidas para determinar mathscrL[f(t)].
f(t)=e^2 t-2+e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^2t-2+e^-2t
O conteúdo envolvido é a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas
mathscrL[e^at] e mathscrL[1].

Passo 2

Pela propriedade de linearidade temos
mathscrL[f(t)] =mathscrL[e^2t]-2,mathscrL[1]+mathscrL[e^-2t]

Passo 3

Recordando as fórmulas básicas:
mathscrL[e^at]=1s-a, Re(s)>a,
mathscrL[1]=1s, Re(s)>0

Passo 4

Aplicando cada caso:
mathscrL[e^2t]=1s-2, mathscrL[1]=1s, mathscrL[e^-2t]=1s+2
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mathscrL[f(t)] =1s-2-2cdot1s+1s+2

Passo 5

Podemos deixar em forma única. Primeiro somamos as duas frações com denominador s^2-4:
1s-2+1s+2 =(s+2)+(s-2)s^2-4 =2ss^2-4
Então
mathscrL[f(t)] =2ss^2-4-2s =2scdot s-2(s^2-4)s(s^2-4) =2s^2-2s^2+8s(s^2-4) =8s(s^2-4)

Resposta

boxedmathscrL[f(t)] = 1s-2-2s+1s+2 = 8s(s^2-4), Re(s)>2

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