(1pt) Calcule a derivada da função f(x)=raizx cdot sen(x^3).
f^prime(x) & =12(x cdot sen(x^3))^-1 / 2 cdot(x cdot sen(x^3))^prime & =12(x cdot sen(x^3))^-1 / 2 cdot(sen(x^3)+x cdot cos (x^3) cdot 3 x^2) (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raizxsinl(x^3r)
Para isso vamos usar:
– a regra da cadeia para potência (raiz quadrada),
– a regra do produto para xsin(x^3),
– a regra da cadeia para sin(x^3).

Passo 2

Defina
u(x)=xsinl(x^3r),
então
f(x)=l(u(x)r)^tfrac12
Pela regra da cadeia para potências,
f'(x)=12l(u(x)r)^-1/2,u'(x)

Passo 3

Calcule u'(x) usando produto e cadeia:
u'(x)=ddxl[xsin(x^3)r] =sinl(x^3r) + xcdotddxl[sin(x^3)r]
Para ddx[sin(x^3)] aplicamos cadeia:
ddxsin(x^3) =cosl(x^3r)cdot3x^2
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u'(x)=sinl(x^3r)+3x^3cosl(x^3r)

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x):
f'(x) =12l(xsin(x^3)r)^-1/2 l[sin(x^3)+3x^3cos(x^3)r]
Escrevendo o fator l(xsin(x^3)r)^-1/2 como 1/raizxsin(x^3), temos a forma final.

Resposta

f'(x) =sinl(x^3r)+3x^3cosl(x^3r) 2raizxsinl(x^3r)

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