4.8F Com a notação do exercício precedente e admitindo que Omega representa uma região compacta do R^3 delimitada por uma superfície simples fechada e regular S (por exemplo uma esfera), use o Teorema da Divergência de Gauss e verifique a relação:
integral duplaS r r cdot nS d S=4 integral triplaOmega r d V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se OmegasubsetR^3 é uma região compacta com fronteira suave S, vale a identidade
integral duplaS r,vec rcdotvec nS,dS ;=;4integral triplaOmegar,dV
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona um fluxo de superfície ao divergente de um campo vetorial no interior.

Passo 2

O Teorema da Divergência de Gauss afirma que, para um campo vetorial suficientemente suave A,
integral duplaSAcdot vec nS,dS ;=;integral triplaOmeganabla!cdot A,dV

Passo 3

Escolhemos o campo
A(vec r)=r,vec r,
onde vec r=(x,y,z) e r=|vec r|=raizx^2+y^2+z^2. Note que a integral de superfície dada é exatamente integral duplaSAcdotvec nS,dS.

Passo 4

Vamos calcular nabla!cdot A. Escrevendo A=(r x,;r y,;r z), temos
nabla!cdot A =partial(r x)partial x +partial(r y)partial y +partial(r z)partial z
Para cada parcela
partial(r x)partial x =xpartial rpartial x+rpartial xpartial x = xxr+r =x^2r+r,
e analogamente para as coordenadas y e z. Somando tudo,
nabla!cdot A =x^2+y^2+z^2r+3r =r^2r+3r =r+3r =4r

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência, obtemos
integral duplaSr,vec rcdotvec nS,dS =integral triplaOmeganabla!cdot(r,vec r),dV =integral triplaOmega4r,dV =4integral triplaOmegar,dV,
que é exatamente a relação desejada.

Resposta

integral duplaSr,vec rcdotvec nS,dS=4integral triplaOmegar,dV

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