4.8F Com a notação do exercício precedente e admitindo que
representa uma região compacta do
delimitada por uma superfície simples fechada e regular
(por exemplo uma esfera), use o Teorema da Divergência de Gauss e verifique a relação:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma região compacta com fronteira suave
, vale a identidade
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona um fluxo de superfície ao divergente de um campo vetorial no interior.
Passo 2
O Teorema da Divergência de Gauss afirma que, para um campo vetorial suficientemente suave
,
Passo 3
Escolhemos o campo
onde
e
. Note que a integral de superfície dada é exatamente
.
Passo 4
Vamos calcular
. Escrevendo
, temos
Para cada parcela
e analogamente para as coordenadas
e
. Somando tudo,
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência, obtemos
que é exatamente a relação desejada.