Q 152 Identificando a indeterminação, calcule cada limite abaixo usando a regra de L’Hôspital.
(

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite usando a regra de L’Hôpital:
limxto 0^+x^x^2.
Este é um caso de indeterminação do tipo 0^0, e vamos transformar a expressão usando logaritmo para depois aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
y = x^x^2
e tomamos logaritmo em ambos os lados:
ln y = x^2ln x
Quando xto0^+, temos x^2to0 e ln xto-infty, gerando a indeterminação 0cdot(-infty). Para usar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
ln y = ln x1/x^2

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital ao limite
limxto 0^+ln x1/x^2
Derivando numerador e denominador:
ddx[ln x]=1x, ddxl[1/x^2r]=-2x^3
Assim,
limxto 0^+ln x1/x^2 = limxto 0^+1/x-2/x^3 = limxto 0^+l(-x^22r) =0

Passo 4

Encontramos limxto0^+ln y=0. Portanto, voltando à y:
limxto0^+y = limxto0^+e^ln y = e^0 =1

Resposta

1

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