Considere as retas reversas
r: X=(-2,3,-1)+alpha(4,1,5), alpha in R e s: X=(-1,0,3)+mu(-2,3,1), mu in R
Encontre P in r e Q in s de modo que a distância entre P e Q seja mínima.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos as retas
rcolon X = A + alpha,u, A = (-2,3,-1),;u=(4,1,5),;alphain R,
scolon X = B + mu,v, B = (-1,0,3),;v=(-2,3,1),;muin R
Queremos encontrar Pin r e Qin s de modo que a distância lVert P - QrVert seja mínima. O conteúdo é geometria analítica em R^3 e vamos usar a ideia de que o vetor que liga esses pontos deve ser perpendicular aos vetores diretores.

Passo 2

Escrevemos pontos genéricos em cada reta:
P = A + alpha,u, Q = B + mu,v
Então o vetor que liga Q a P é
P - Q = (A - B) + alpha,u - mu,v
Definimos D = A - B.

Passo 3

Para minimizar lVert P-QrVert, o vetor P-Q precisa ser ortogonal a u e a v. Isso dá duas condições:
(P-Q)cdot u = 0 e (P-Q)cdot v = 0

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares:
D = A - B = (-2,3,-1) - (-1,0,3) = (-1,3,-4),
ucdot u = 4^2+1^2+5^2 = 42, vcdot v = (-2)^2+3^2+1^2 = 14, ucdot v = 4cdot(-2)+1cdot3+5cdot1 = 0,
Dcdot u = (-1)cdot4 + 3cdot1 + (-4)cdot5 = -21, Dcdot v = (-1)cdot(-2) + 3cdot3 + (-4)cdot1 = 7
As equações
Dcdot u + alpha,(ucdot u) - mu,(vcdot u) = 0, Dcdot v + alpha,(ucdot v) - mu,(vcdot v) = 0
viram
-21 + 42,alpha = 0, 7 - 14,mu = 0
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alpha = tfrac12 e mu = tfrac12.

Passo 5

Basta substituir esses valores em P e Q:
P = (-2,3,-1) + tfrac12,(4,1,5) = l(0,tfrac72,tfrac32r),
Q = (-1,0,3) + tfrac12,(-2,3,1) = l(-2,tfrac32,tfrac72r)

Resposta

P = l(0,tfrac72,tfrac32r), Q = l(-2,tfrac32,tfrac72r)

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