(1pt) Decomponha a função racional 2 x+4(x-1)(x^2+2 x+3) em frações parciais.
Determinemos A, B, C tais que
2 x+4(x-1)(x^2+2 x+3)=Ax-1+B x+Cx^2+2 x+3
Equivalentemente, 2 x+4=(A+B) x^2+(2 A+C-B) x+3 A-C donde A+B=0, 2 A+C-B=2,3 A-C=4, i.e., A=1, B=C=-1.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
2x+4(x-1),(x^2+2x+3)
em frações parciais. Para isso, assumimos a forma
2x+4(x-1)(x^2+2x+3) =Ax-1+Bx+Cx^2+2x+3,
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x^2+2x+3) para obter uma identidade polinomial em x:
2x+4 ;=; A,(x^2+2x+3);+;(Bx+C),(x-1)
Em seguida, expandimos os produtos:
A,x^2 +2A,x +3A ;+; Bx^2 -Bx +Cx -C
Agrupando termos semelhantes:
2x+4 = (A+B),x^2 + (2A + C - B),x + (3A - C)

Passo 3

Como a igualdade vale para todo x, igualamos coeficientes de cada potência de x:
A + B = 0, 2A + C - B = 2, 3A - C = 4

Passo 4

Resolvendo o sistema:
da primeira equação B=-A.
Substituindo em 2A + C -(-A)=2 3A + C=2.
E da terceira equação 3A - C=4.
Somando essas duas:
(3A+C)+(3A-C)=2+4;Longrightarrow;6A=6;Longrightarrow;A=1
Logo B=-1 e de 3cdot1 - C=4 segue C=-1.

Resposta

2x+4(x-1)(x^2+2x+3) =1x-1;-;x+1x^2+2x+3

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