Seja an uma sequência dada recursivamente por a1=raiz3 e an=raiz3+an-1, n>1. Mostrar que an é convergente. Calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva
a1=raiz3,
an=raiz3+an-1 para n>1,
e pede para mostrar que an é convergente e calcular
limntoinftyan.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas: toda sequência que é monótona e limitada converge.

Passo 2

Vamos encontrar um valor M tal que an<M para todo n. Suponha que o limite exista e valha L. Da relação de recorrência em equilíbrio teríamos
L = raiz3+L
e elevando ao quadrado
L^2 = 3 + L Longrightarrow L^2 - L - 3 = 0
As raízes dessa equação são
L = 1pmraiz1+122 = 1pmraiz132
Como an>0 para todo n, escolhemos
M = 1+raiz132
Agora mostramos por indução que an<M.
  • Base ( n=1): a1=raiz3approx1,732<Mapprox2,303.
  • Passo indutivo: suponha an-1<M. Então
an = raiz3 + an-1 < raiz3 + M
Mas ,M^2=3+M implica raiz3+M=M. Logo an<M.

Passo 3

Agora mostramos que an é crescente, ou seja, an>an-1. Como já provamos an-1<M, temos
an > an-1 ;Long<=ftrightarrow; raiz3 + an-1 > an-1 ;Long<=ftrightarrow; 3 + an-1 > (an-1)^2 ;Long<=ftrightarrow; (an-1)^2 - an-1 - 3 < 0
A função f(x)=x^2-x-3 é negativa exatamente para x entre as raízes 1-raiz132 e 1+raiz132. Como 0<an-1<M=1+raiz132, segue f(an-1)<0 e portanto an>an-1.

Passo 4

Concluímos que an é monótona crescente e limitada superiormente por M. Pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas, an converge.

Passo 5

Seja
L=limntoinftyan.
Tomando limite na relação an=raiz3+an-1 obtemos
L = raiz3+L,
o que leva à equação quadrática
L^2-L-3=0
Como L>0, a solução é
L = 1+raiz132

Resposta

limntoinftyan=1+raiz132

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