Seja
uma sequência dada recursivamente por
e
. Mostrar que
é convergente. Calcule
.
Passo 1
O enunciado define a sequência recursiva
,
para
,
e pede para mostrar que é convergente e calcular
.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas: toda sequência que é monótona e limitada converge.
e pede para mostrar que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas: toda sequência que é monótona e limitada converge.
Passo 2
Vamos encontrar um valor
tal que
para todo
. Suponha que o limite exista e valha
. Da relação de recorrência em equilíbrio teríamos
e elevando ao quadrado
As raízes dessa equação são
Como
para todo
, escolhemos
Agora mostramos por indução que
.
- Base (
): . - Passo indutivo: suponha
. Então
Mas
implica
. Logo
.
Passo 3
Agora mostramos que
é crescente, ou seja,
. Como já provamos
, temos
A função
é negativa exatamente para
entre as raízes
e
. Como
, segue
e portanto
.
Passo 4
Concluímos que
é monótona crescente e limitada superiormente por
. Pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas,
converge.
Passo 5
Seja
.
Tomando limite na relação obtemos
Tomando limite na relação
o que leva à equação quadrática
Como
, a solução é