Em cada caso, verifique se a função f possui extremos globais no conjunto A indicado. Em caso afirmativo, calcule estes extremos.
f(x)=2 cos (x)+sen(2 x), A=[0 ; 4 pi];

Passo 1

O problema pede os extremos globais da função
f(x)=2cos(x)+sin(2x)
no intervalo fechado A=[0,4pi]. Como f é contínua em A, os extremos globais ocorrem em pontos críticos (onde f'(x)=0) ou nas extremidades x=0 e x=4pi.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Temos
f'(x)=-2sin(x)+2cos(2x)
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
-2sin(x)+2cos(2x)=0 Longrightarrow cos(2x)=sin(x)

Passo 3

Expresse cos(2x) em função de sin(x):
cos(2x)=1-2sin^2(x),
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1-2sin^2(x)=sin(x) Longrightarrow 2sin^2(x)+sin(x)-1=0
Essa equação quadrática em sin(x) tem raízes
sin(x)=-1pmraiz1+84 =-1pm34,
isto é
sin(x)=tfrac12 ou sin(x)=-1.

Passo 4

Determine os xin[0,4pi] que satisfazem cada caso:
  1. sin(x)=tfrac12 em
    x=tfracpi6+2pi k, x=tfrac5pi6+2pi k,
    com k=0,1. Isso dá
    pi/6,;5pi/6,;13pi/6,;17pi/6.
  2. sin(x)=-1 em
    x=tfrac3pi2+2pi k,
    com k=0,1. Isso dá
    3pi/2,;7pi/2.
Além disso, consideramos os extremos do intervalo: x=0 e x=4pi.

Passo 5

Avaliação de f nesses pontos:
  1. x=0 ou x=4pi:
    f=2cos(0)+sin(0)=2
  2. x=pi/6 ou x=13pi/6:
    f=2cosl(tfracpi6r)+sinl(tfracpi3r) =2cdottfracraiz32+tfracraiz32 =tfrac3raiz32approx2,598
  3. x=5pi/6 ou x=17pi/6:
    f=2cosl(tfrac5pi6r)+sinl(tfrac5pi3r) =2cdotl(-tfracraiz32r)+l(-tfracraiz32r) =-tfrac3raiz32approx-2,598
  4. x=3pi/2 ou x=7pi/2:
    f=2cosl(tfrac3pi2r)+sin(3pi)=0, f=2cosl(tfrac7pi2r)+sin(7pi)=0

Passo 6

Comparando os valores, vemos que o maior valor é
tfrac3raiz32 e o menor é
-tfrac3raiz32.

Resposta

O valor máximo global é
fmax=tfrac3raiz32
ocorrendo em
x=tfracpi6,;tfrac13pi6
O valor mínimo global é
fmin=-tfrac3raiz32
ocorrendo em
x=tfrac5pi6,;tfrac17pi6

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