(1pts) \int \operatorname{sec} ^{3} x d x, \int \operatorname{sec} ^{2} x d x e \int \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular as três primitivas (antiderivadas):
\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx,\qquad \int \operatorname{sec}^{2} x\, dx,\qquad \int \operatorname{sec} x\, dx.
Não há outras hipóteses ou dados adicionais no enunciado. O objetivo é encontrar expressões fechadas (com a constante de integração) para cada uma.

Passo 2

Começamos pela mais direta: \int \operatorname{sec}^{2} x\, dx. Aqui é útil lembrar a relação entre derivadas e integrais: se \dfrac{d}{dx}F(x)=f(x), então \int f(x)\,dx=F(x)+C. Uma derivada trigonométrica padrão é
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2} x.
Isso significa que a primitiva de \operatorname{sec}^{2} x é \tan x. Portanto,
\int \operatorname{sec}^{2} x\, dx=\tan x + C.
Explicação curta e prática: reconhecemos a integranda como a derivada exata de \tan x, então integramos “inversamente”.

Passo 3

Agora \int \operatorname{sec} x\, dx. Essa integral não é óbvia à primeira vista, mas tem um truque clássico: multiplicar e dividir por a mesma expressão de modo a obter no numerador a derivada de algo simples. Escrevemos
\int \operatorname{sec} x\, dx=\int \operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx =\int \frac{\operatorname{sec}^{2} x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
A ideia é perceber que o numerador \operatorname{sec}^{2} x+\operatorname{sec} x\tan x é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x. De fato,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x+\tan x\big)=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^{2} x.
Então fazemos a substituição u=\operatorname{sec} x+\tan x. Com isso,
du=(\operatorname{sec}^{2} x+\operatorname{sec} x\tan x)\,dx,
e a integral vira
\int \frac{1}{u}\,du=\ln\big|u\big|+C.
Voltando à variável x,
\int \operatorname{sec} x\, dx=\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C.
Observação didática: o valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/u é \ln|u|. Na prática, usamos esse resultado sem nos preocupar demais com o sinal quando trabalhamos com intervalos onde \operatorname{sec} x+\tan x tem sinal fixo.

Passo 4

Agora a mais trabalhosa: \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx. O método padrão é integração por partes. Lembra da fórmula de integração por partes?
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Precisamos escolher u e dv de forma conveniente. Uma escolha eficiente é separar a potência:
\operatorname{sec}^{3} x=\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec}^{2} x,
e tomar
u=\operatorname{sec} x,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2} x\,dx.
Isso porque sabemos integrar \operatorname{sec}^{2} x (já fizemos) e diferenciar \operatorname{sec} x dá algo manejável. Calculamos:
du=\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)\,dx=\operatorname{sec} x\tan x\,dx, \qquad v=\int \operatorname{sec}^{2} x\,dx=\tan x.
Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx = u v - \int v\,du = \operatorname{sec} x\cdot\tan x - \int \tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
No integrando do segundo termo temos \tan x\cdot\operatorname{sec} x\tan x=\operatorname{sec} x\tan^{2} x. Logo
\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx=\operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\tan^{2} x\,dx.

Passo 5

Agora usamos a identidade trigonométrica
\tan^{2} x=\operatorname{sec}^{2} x - 1,
para substituir dentro da integral:
\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx=\operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\big(\operatorname{sec}^{2} x - 1\big)\,dx.
Distribuindo,
\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx=\operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3} x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Repare que apareceu \int \operatorname{sec}^{3} x\,dx do outro lado também. Agora só é álgebra: somamos \int \operatorname{sec}^{3} x\,dx aos dois lados para isolar:
2\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx=\operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 6

Dividimos por 2 e usamos o resultado que já obtivemos para \int \operatorname{sec} x\,dx. Lembrando do Passo 3,
\int \operatorname{sec} x\,dx=\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx=\frac{1}{2}\Big(\operatorname{sec} x\tan x + \ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|\Big)+C.
Aqui o C é a constante de integração geral (poderíamos distribuir constantes diferentes nas etapas, mas as reunimos em uma só).

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx=\frac{1}{2}\Big(\operatorname{sec} x\tan x+\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|\Big)+C\n
\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2} x\, dx=\tan x + C\n
\displaystyle \int \operatorname{sec} x\, dx=\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C

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