Não há outras hipóteses ou dados adicionais no enunciado. O objetivo é encontrar expressões fechadas (com a constante de integração) para cada uma.
Passo 2
Começamos pela mais direta: \int \operatorname{sec}^{2} x\, dx. Aqui é útil lembrar a relação entre derivadas e integrais: se \dfrac{d}{dx}F(x)=f(x), então \int f(x)\,dx=F(x)+C. Uma derivada trigonométrica padrão é
Isso significa que a primitiva de \operatorname{sec}^{2} x é \tan x. Portanto,
\int \operatorname{sec}^{2} x\, dx=\tan x + C.
Explicação curta e prática: reconhecemos a integranda como a derivada exata de \tan x, então integramos “inversamente”.
Passo 3
Agora \int \operatorname{sec} x\, dx. Essa integral não é óbvia à primeira vista, mas tem um truque clássico: multiplicar e dividir por a mesma expressão de modo a obter no numerador a derivada de algo simples. Escrevemos
A ideia é perceber que o numerador \operatorname{sec}^{2} x+\operatorname{sec} x\tan x é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x. De fato,
Observação didática: o valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/u é \ln|u|. Na prática, usamos esse resultado sem nos preocupar demais com o sinal quando trabalhamos com intervalos onde \operatorname{sec} x+\tan x tem sinal fixo.
Passo 4
Agora a mais trabalhosa: \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx. O método padrão é integração por partes. Lembra da fórmula de integração por partes?
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Precisamos escolher u e dv de forma conveniente. Uma escolha eficiente é separar a potência:
Repare que apareceu \int \operatorname{sec}^{3} x\,dx do outro lado também. Agora só é álgebra: somamos \int \operatorname{sec}^{3} x\,dx aos dois lados para isolar:
2\int \operatorname{sec}^{3} x\,dx=\operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Passo 6
Dividimos por 2 e usamos o resultado que já obtivemos para \int \operatorname{sec} x\,dx. Lembrando do Passo 3,