a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
Passo 1
O enunciado nos dá sete funções reais de duas variáveis e pede, para cada função, as seguintes informações:
(i) domínio, (ii) imagem, (iii) descrição das curvas de nível, (iv) fronteira do domínio, (v) se o domínio é aberto, fechado ou nenhum, e (vi) se o domínio é limitado ou ilimitado.
(i) domínio, (ii) imagem, (iii) descrição das curvas de nível, (iv) fronteira do domínio, (v) se o domínio é aberto, fechado ou nenhum, e (vi) se o domínio é limitado ou ilimitado.
Passo 2
Função a)
(i) Domínio: não há restrição em , logo
(i) Domínio: não há restrição em
(ii) Imagem: como
percorre todos os reais,
(iii) Curvas de nível
são
ou seja, retas paralelas de inclinação
.
(iv) Fronteira de é vazia, pois
é aberto e fechado em si mesmo:
(iv) Fronteira de
(v)
é aberto (e também fechado) em
.
(vi) é ilimitado.
(vi)
Passo 3
Função b)
(i) Domínio: exige , logo
(i) Domínio: exige
um disco aberto de raio
.
(ii) Imagem: no centro , e ao se aproximar de
o denominador vai a zero, fazendo
. Assim
(ii) Imagem: no centro
(iii) Curvas de nível
dão
círculos de raio
, definidos para
.
(iv) Fronteira de é o círculo
(iv) Fronteira de
(v)
é aberto.
(vi) é limitado.
(vi)
Passo 4
Função c)
(i) Domínio: , ou seja
(i) Domínio:
o disco fechado de raio
.
(ii) Imagem: varia de
(na borda) até
(no centro), logo
(ii) Imagem:
(iii) Curvas de nível
dão
círculos de raio
, para
.
(iv) Fronteira de é o círculo
(iv) Fronteira de
(v)
é fechado.
(vi) é limitado.
(vi)
Passo 5
Função d)
(i) Domínio: exige , ou seja
(i) Domínio: exige
o plano com o ponto origem retirado.
(ii) Imagem: como , temos
, ou seja
(ii) Imagem: como
(iii) Curvas de nível
dão
círculos de raio
(iv) Fronteira de é o ponto
(iv) Fronteira de
(v)
é aberto (não é fechado pois falta a origem).
(vi) é ilimitado.
(vi)
Passo 6
Função e)
(i) Domínio: sem restrições,
(i) Domínio: sem restrições,
(ii) Imagem: em
temos
, e quando
,
. Nunca atinge zero, logo
(iii) Curvas de nível
dão
círculos de raio
, para
.
(iv) Fronteira de é vazia:
.
(v) é aberto (e fechado em si mesmo).
(vi) é ilimitado.
(iv) Fronteira de
(v)
(vi)
Passo 7
Função f)
(i) Domínio: exige , ou seja
(i) Domínio: exige
uma faixa infinita limitada por duas retas paralelas.
(ii) Imagem: varia de
a
quando
, então
(ii) Imagem:
(iii) Curvas de nível
dão
retas paralelas de inclinação
.
(iv) Fronteira de são as retas
(iv) Fronteira de
(v)
é fechado (as desigualdades são inclusivas).
(vi) é ilimitado (estende-se indefinidamente).
(vi)
Passo 8
Função g)
(i) Domínio: exige , logo
(i) Domínio: exige
o plano menos o eixo
.
(ii) Imagem: como ,
varia em
, assim
(ii) Imagem: como
(iii) Curvas de nível
dão
retas que passam pela origem com inclinação
.
(iv) Fronteira de é o eixo
:
(iv) Fronteira de
(v)
é aberto (é a união de dois semiplanos abertos).
(vi) é ilimitado.
(vi)
Resposta
a) Domínio
, imagem
, curvas
, fronteira
, aberto, ilimitado.
b) Domínio , imagem
, curvas círculos
, fronteira
, aberto, limitado.
c) Domínio , imagem
, curvas círculos
, fronteira
, fechado, limitado.
d) Domínio , imagem
, curvas círculos
, fronteira
, aberto, ilimitado.
e) Domínio , imagem
, curvas círculos
, fronteira
, aberto, ilimitado.
f) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, fechado, ilimitado.
g) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, aberto, ilimitado.
b) Domínio
c) Domínio
d) Domínio
e) Domínio
f) Domínio
g) Domínio