a) f(x, y)=y-x
b) f(x, y)=1raiz16-x^2-y^2
c) f(x, y)=raiz9-x^2-y^2
d) f(x, y)=ln (x^2+y^2)
e) f(x, y)=e^-(x^2+y^2)
f) f(x, y)=sin ^-1(y-x)
g) f(x, y)=tan ^-1(yx)
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.

Passo 1

O enunciado nos dá sete funções reais de duas variáveis e pede, para cada função, as seguintes informações:
(i) domínio, (ii) imagem, (iii) descrição das curvas de nível, (iv) fronteira do domínio, (v) se o domínio é aberto, fechado ou nenhum, e (vi) se o domínio é limitado ou ilimitado.

Passo 2

Função a) f(x,y)=y-x
(i) Domínio: não há restrição em (x,y), logo
D=(x,y)in R^2= R^2
(ii) Imagem: como y-x percorre todos os reais,
Im(f)= R
(iii) Curvas de nível f(x,y)=c são
y-x=c,
ou seja, retas paralelas de inclinação 1.
(iv) Fronteira de D= R^2 é vazia, pois R^2 é aberto e fechado em si mesmo:
partial D=varnothing
(v) D é aberto (e também fechado) em R^2.
(vi) D é ilimitado.

Passo 3

Função b) f(x,y)=1raiz16-x^2-y^2
(i) Domínio: exige 16-x^2-y^2>0, logo
D=(x,y)mid x^2+y^2<16,
um disco aberto de raio 4.
(ii) Imagem: no centro ,f(0,0)=1/4, e ao se aproximar de x^2+y^2to16 o denominador vai a zero, fazendo fto+infty. Assim
Im(f)=l[tfrac14,+inftyr)
(iii) Curvas de nível f(x,y)=c dão
1raiz16-r^2=c Longrightarrow r^2=16-1c^2,
círculos de raio raiz16-1/c^2, definidos para c>=1/4.
(iv) Fronteira de D é o círculo
partial D=(x,y)mid x^2+y^2=16
(v) D é aberto.
(vi) D é limitado.

Passo 4

Função c) f(x,y)=raiz9-x^2-y^2
(i) Domínio: 9-x^2-y^2>=0, ou seja
D=(x,y)mid x^2+y^2<=9,
o disco fechado de raio 3.
(ii) Imagem: f varia de 0 (na borda) até 3 (no centro), logo
Im(f)=[0,3]
(iii) Curvas de nível f(x,y)=c dão
raiz9-r^2=c Longrightarrow r^2=9-c^2,
círculos de raio raiz9-c^2, para 0<= c<=3.
(iv) Fronteira de D é o círculo
partial D=(x,y)mid x^2+y^2=9
(v) D é fechado.
(vi) D é limitado.

Passo 5

Função d) f(x,y)=ln(x^2+y^2)
(i) Domínio: exige x^2+y^2>0, ou seja
D=(x,y)mid(x,y)neq(0,0),
o plano com o ponto origem retirado.
(ii) Imagem: como x^2+y^2in(0,+infty), temos ln(x^2+y^2)in(-infty,+infty), ou seja
Im(f)= R
(iii) Curvas de nível f(x,y)=c dão
ln(r^2)=c Longrightarrow r^2=e^c,
círculos de raio e^c/2
(iv) Fronteira de D é o ponto
partial D=(0,0)
(v) D é aberto (não é fechado pois falta a origem).
(vi) D é ilimitado.

Passo 6

Função e) f(x,y)=e^-l(x^2+y^2r)
(i) Domínio: sem restrições,
D= R^2
(ii) Imagem: em r=0 temos f=1, e quando rtoinfty, fto0^+. Nunca atinge zero, logo
Im(f)=(0,1]
(iii) Curvas de nível e^-r^2=c dão
r^2=-ln c,
círculos de raio raiz-ln c, para 0<c<=1.
(iv) Fronteira de D é vazia: partial D=varnothing.
(v) D é aberto (e fechado em si mesmo).
(vi) D é ilimitado.

Passo 7

Função f) f(x,y)=sin^-1(y-x)
(i) Domínio: exige -1<= y-x<=1, ou seja
D=(x,y)mid -1<= y-x<=1,
uma faixa infinita limitada por duas retas paralelas.
(ii) Imagem: sin^-1(u) varia de -tfracpi2 a tfracpi2 quando uin[-1,1], então
Im(f)=l[-tfracpi2,tfracpi2r]
(iii) Curvas de nível sin^-1(y-x)=c dão
y-x=sin c,
retas paralelas de inclinação 1.
(iv) Fronteira de D são as retas
y-x=pm1
(v) D é fechado (as desigualdades são inclusivas).
(vi) D é ilimitado (estende-se indefinidamente).

Passo 8

Função g) f(x,y)=tan^-1!l(tfrac yxr)
(i) Domínio: exige xneq0, logo
D=(x,y)mid xneq0,
o plano menos o eixo y.
(ii) Imagem: como tfrac yxin R, tan^-1 varia em (-tfracpi2,tfracpi2), assim
Im(f)=l(-tfracpi2,tfracpi2r)
(iii) Curvas de nível tan^-1(y/x)=c dão
yx=tan c,
retas que passam pela origem com inclinação tan c.
(iv) Fronteira de D é o eixo y:
partial D=(x,y)mid x=0
(v) D é aberto (é a união de dois semiplanos abertos).
(vi) D é ilimitado.

Resposta

a) Domínio R^2, imagem R, curvas y-x=c, fronteira varnothing, aberto, ilimitado.
b) Domínio x^2+y^2<16, imagem [1/4,infty), curvas círculos r^2=16-1/c^2, fronteira x^2+y^2=16, aberto, limitado.
c) Domínio x^2+y^2<=9, imagem [0,3], curvas círculos r^2=9-c^2, fronteira x^2+y^2=9, fechado, limitado.
d) Domínio R^2setminus(0,0), imagem R, curvas círculos r^2=e^c, fronteira (0,0), aberto, ilimitado.
e) Domínio R^2, imagem (0,1], curvas círculos r^2=-ln c, fronteira varnothing, aberto, ilimitado.
f) Domínio -1<= y-x<=1, imagem [-pi/2,pi/2], curvas y-x=sin c, fronteira y-x=pm1, fechado, ilimitado.
g) Domínio xneq0, imagem (-tfracpi2,tfracpi2), curvas y=tan c,x, fronteira x=0, aberto, ilimitado.

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