Verifique se a função abaixo é continua em , justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos verificar se é contínua em .

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
|f(x,y)|=|x|^4x^2+y^2 =|x|^2,x^2x^2+y^2 <=|x|^2 <= x^2+y^2
Isso mostra que
|f(x,y)|<= x^2+y^2
sempre que (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Seja varepsilon>0. Tome de<a=raizvarepsilon. Se
0<raizx^2+y^2<de<a
então
x^2+y^2<de<a^2=varepsilon
e, pelo resultado do passo anterior,
|f(x,y)|<= x^2+y^2<varepsilon
Isso mostra que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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