1s Questão: Calcule as derivadas
Derive as funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes que temos: a função está definida apenas para
, porque aparece
. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Estratégia e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
Primeiro motivo por que uso logaritmo: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é muito útil fazer a diferenciação logarítmica. A regra básica para diferenciação logarítmica é: se com
, então fazemos
e depois derivamos ambos os lados. Isso transforma uma potência onde expoente e base dependem de
em um produto, que é mais fácil de derivar usando a regra do produto.
Primeiro motivo por que uso logaritmo: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é muito útil fazer a diferenciação logarítmica. A regra básica para diferenciação logarítmica é: se
Relembrando as regras que usaremos:
- Derivada do logaritmo:
, onde . - Regra do produto:
. - Derivada de uma exponencial com base fixa
: .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Começo aplicando logaritmo natural em
. Definindo
(válido para
):
Antes de derivar, simplifico
usando a propriedade
:
logo
Passo 4
Derivo ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo uso
. No lado direito aplico a regra do produto com
e
.
Calculo
: como
,
Calculo
: como
, pela regra da cadeia
Agora
usa a regra da exponencial com base fixa
e
:
Substituindo em
:
Agora aplico a regra do produto:
Passo 5
Isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Lembro que
. Podemos deixar a resposta substituindo
de volta ou fatorando um
se preferir uma forma ligeiramente diferente. Uma forma um pouco mais compacta, fatorando
, é