1s Questão: Calcule as derivadas
Derive as funções:
g(x)=\left(1+2^{3 x}\right)^{\ln \left(x^{3}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\left(1+2^{3x}\right)^{\ln\left(x^{3}\right)}.
Informações importantes que temos: a função está definida apenas para x>0, porque aparece \ln\left(x^{3}\right). A tarefa é encontrar g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Estratégia e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
Primeiro motivo por que uso logaritmo: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é muito útil fazer a diferenciação logarítmica. A regra básica para diferenciação logarítmica é: se y=f(x)^{h(x)} com f(x)>0, então fazemos \ln y = h(x)\ln f(x) e depois derivamos ambos os lados. Isso transforma uma potência onde expoente e base dependem de x em um produto, que é mais fácil de derivar usando a regra do produto.
Relembrando as regras que usaremos:
  • Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dx}\big(\ln u(x)\big)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}, onde u(x)>0.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(A(x)B(x)\big)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
  • Derivada de uma exponencial com base fixa a>0: \dfrac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x).
    Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Começo aplicando logaritmo natural em g(x). Definindo g(x)>0 (válido para x>0):
\ln g(x)=\ln\left(x^{3}\right)\cdot \ln\left(1+2^{3x}\right).
Antes de derivar, simplifico \ln\left(x^{3}\right) usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a:
\ln\left(x^{3}\right)=3\ln x,
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\ln g(x)=3\ln x \cdot \ln\left(1+2^{3x}\right).

Passo 4

Derivo ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo uso \dfrac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}. No lado direito aplico a regra do produto com A(x)=3\ln x e B(x)=\ln\left(1+2^{3x}\right).
Calculo A'(x): como A(x)=3\ln x,
A'(x)=3\cdot \frac{1}{x}=\frac{3}{x}.
Calculo B'(x): como B(x)=\ln\big(1+2^{3x}\big), pela regra da cadeia
B'(x)=\frac{1}{1+2^{3x}}\cdot \frac{d}{dx}\big(2^{3x}\big).
Agora \dfrac{d}{dx}\big(2^{3x}\big) usa a regra da exponencial com base fixa a=2 e u(x)=3x:
\frac{d}{dx}\big(2^{3x}\big)=2^{3x}\ln 2 \cdot (3)=3\ln 2\;2^{3x}.
Substituindo em B'(x):
B'(x)=\frac{3\ln 2\;2^{3x}}{1+2^{3x}}.
Agora aplico a regra do produto:
\frac{g'(x)}{g(x)}=A'(x)B(x)+A(x)B'(x) =\frac{3}{x}\ln\left(1+2^{3x}\right)+3\ln x\cdot \frac{3\ln 2\;2^{3x}}{1+2^{3x}}.

Passo 5

Isolo g'(x) multiplicando ambos os lados por g(x):
g'(x)=g(x)\left(\frac{3}{x}\ln\left(1+2^{3x}\right)+\frac{9\ln 2\;\ln x\;2^{3x}}{1+2^{3x}}\right).
Lembro que g(x)=\left(1+2^{3x}\right)^{\ln\left(x^{3}\right)}. Podemos deixar a resposta substituindo g(x) de volta ou fatorando um 3 se preferir uma forma ligeiramente diferente. Uma forma um pouco mais compacta, fatorando 3, é
g'(x)=3\left(1+2^{3x}\right)^{\ln\left(x^{3}\right)}\left(\frac{1}{x}\ln\left(1+2^{3x}\right)+\frac{3\ln 2\;\ln x\;2^{3x}}{1+2^{3x}}\right).

Resposta

g'(x)=\left(1+2^{3x}\right)^{\ln\left(x^{3}\right)}\left(\frac{3}{x}\ln\left(1+2^{3x}\right)+\frac{9\ln 2\;\ln x\;2^{3x}}{1+2^{3x}}\right)

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