2^{\underline{a}} Questão:
\text { Seja } \mathrm{F}(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}+2 x & \text { se } & x<-1 \\\ x & \text { se } & -1 \leq x \leq 0 \\\ \frac{1}{\ln (x)} & \text { se } & x>0 \end{array}\right.
(a) F é contínua em -1 ? (justifique usando a definição)
(b) F é derivável em - 1 ? (justifique usando a definição)
(c) F é derivável em 0? (justifique)
(d) Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{F}(x) (justifique)

Passo 1

O enunciado dá a função F\) por partes: \[F(x)=\begin{cases} x^{2}+2x & \text{se } x<-1,\\[4pt] x & \text{se } -1\le x\le 0,\\[4pt] \dfrac{1}{\ln(x)} & \text{se } x>0. \end{cases}
As perguntas são:
(a) F\] é contínua em \(-1? (justifique usando a definição) \n
(b) F é derivável em -1? (justifique usando a definição) \n
(c) F é derivável em 0? (justifique) \n
(d) Calcule \lim_{x\to+\infty}F(x) (justifique).]

Passo 2

Definição usada (didática): dizemos que F é contínua em a se
\lim_{x\to a}F(x)=F(a).
Na prática verificamos as duas limites laterais e comparamos com o valor da função. Primeiro identifiquemos o valor de F em -1. Como -1 pertence ao intervalo [-1,0], obtemos
F(-1)=-1.
Agora vamos calcular os limites laterais em -1.

Passo 3

Cálculo do limite à esquerda em -1: para x<-1 temos F(x)=x^{2}+2x. Como polinômios são funções contínuas, podemos avaliar diretamente:
\lim_{x\to -1^-}F(x)=\lim_{x\to -1^-}(x^{2}+2x)=(-1)^{2}+2(-1)=1-2=-1.

Passo 4

Cálculo do limite à direita em -1: para -1\le x\le0 temos F(x)=x. Então
\lim_{x\to -1^+}F(x)=\lim_{x\to -1^+}x=-1.
Como ambos os limites laterais existem e são iguais a -1, e F(-1)=-1, pela definição de continuidade concluímos que F é contínua em -1.

Passo 5

Agora tratamos da derivabilidade em -1. Definição usada (didática): F é derivável em a se existir o limite
F'(a)=\lim_{h\to0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h}
e este limite for finito. É suficiente verificar as derivadas laterais (limites com h\to0^- e h\to0^+) — elas devem existir e coincidir.

Passo 6

Derivada lateral esquerda em -1: para x<-1 usamos F(x)=x^{2}+2x. Podemos calcular a derivada lateral como
\lim_{x\to -1^-}\frac{F(x)-F(-1)}{x-(-1)} =\lim_{x\to -1^-}\frac{x^{2}+2x-(-1)}{x+1}.
Simplificando o numerador:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2},
então a expressão fica
\lim_{x\to -1^-}\frac{(x+1)^{2}}{x+1}=\lim_{x\to -1^-}(x+1)=0.
Logo a derivada lateral pela esquerda é 0.

Passo 7

Derivada lateral direita em -1: para -1\le x\le0 temos F(x)=x. Então
\lim_{x\to -1^+}\frac{F(x)-F(-1)}{x+1} =\lim_{x\to -1^+}\frac{x-(-1)}{x+1} =\lim_{x\to -1^+}\frac{x+1}{x+1}=1.
Portanto a derivada lateral pela direita é 1.

Passo 8

Conclusão sobre derivabilidade em -1: as derivadas laterais são diferentes ( 0 à esquerda e 1 à direita). Pelo critério da definição (os dois limites laterais do quociente incremental não coincidem), o limite total não existe; logo F não é derivável em -1.

Passo 9

Agora examinamos o ponto 0. Primeiro verifiquemos continuidade em 0 (passo necessário antes de derivabilidade). Temos F(0) dado pela parte do meio (pois 0\in[-1,0]), então
F(0)=0.
Cálculo do limite pela esquerda: para x<0 próximo de 0 usamos F(x)=x, logo
\lim_{x\to 0^-}F(x)=\lim_{x\to 0^-}x=0.
Cálculo do limite pela direita: para x>0 próximo de 0 temos F(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}. Quando x\to0^+ temos \ln(x)\to -\infty, portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\ln(x)}=0.
Os dois limites laterais são 0 e coincidem com F(0)=0, então F é contínua em 0.

Passo 10

Verificação da derivabilidade em 0: calculamos as derivadas laterais pelo quociente incremental.
Derivada lateral esquerda ( h\to0^-): usando F(x)=x para x<0,
\lim_{h\to0^-}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{h-0}{h}=1.
Então a derivada pela esquerda em 0 é 1.

Passo 11

Derivada lateral direita ( h\to0^+): para h>0 usamos F(h)=\dfrac{1}{\ln(h)}. Assim
\lim_{h\to0^+}\frac{F(0+h)-F(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{\dfrac{1}{\ln(h)}-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{1}{h\ln(h)}.
Para estudar esse limite é útil a substituição t=\dfrac{1}{h} (então h=\dfrac{1}{t} e h\to0^+ equivale a t\to+\infty). Com essa substituição,
\frac{1}{h\ln(h)}=\frac{1}{\frac{1}{t}\ln(1/t)} =\frac{t}{-\,\ln t}=-\frac{t}{\ln t}.
Quando t\to+\infty temos \dfrac{t}{\ln t}\to+\infty (pois t cresce muito mais rápido que \ln t). Assim
-\frac{t}{\ln t}\to -\infty.
Portanto a derivada lateral direita em 0 diverge para -\infty (não é finita).

Passo 12

Conclusão sobre derivabilidade em 0: as derivadas laterais são diferentes (pela esquerda dá 1, pela direita diverge para -\infty). Logo F não é derivável em 0.

Passo 13

Finalmente, calculamos \lim_{x\to+\infty}F(x). Para x>0 temos F(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}. Sabemos que \ln(x)\to+\infty quando x\to+\infty. Usando a propriedade básica de limites,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln(x)}=0.
O sinal é positivo porque para x>1 temos \ln(x)>0, então a fração é positiva e tende a 0 por decair quando o denominador cresce sem limite.

Resposta

(a) Sim. \n
(b) Não. \n
(c) Não. \n
(d) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}F(x)=0

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