\text { Seja } \mathrm{F}(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}+2 x & \text { se } & x<-1 \\\ x & \text { se } & -1 \leq x \leq 0 \\\ \frac{1}{\ln (x)} & \text { se } & x>0 \end{array}\right.
(a) F é contínua em -1 ? (justifique usando a definição)
(b) F é derivável em - 1 ? (justifique usando a definição)
(c) F é derivável em 0? (justifique)
(d) Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{F}(x) (justifique)
Passo 1
O enunciado dá a função F\) por partes:
\[F(x)=\begin{cases} x^{2}+2x & \text{se } x<-1,\\[4pt] x & \text{se } -1\le x\le 0,\\[4pt] \dfrac{1}{\ln(x)} & \text{se } x>0. \end{cases}
As perguntas são:
(a) F\] é contínua em \(-1? (justifique usando a definição) \n
(b) F é derivável em -1? (justifique usando a definição) \n
(c) F é derivável em 0? (justifique) \n
(d) Calcule \lim_{x\to+\infty}F(x) (justifique).]
Passo 2
Definição usada (didática): dizemos que F é contínua em a se
\lim_{x\to a}F(x)=F(a).
Na prática verificamos as duas limites laterais e comparamos com o valor da função. Primeiro identifiquemos o valor de F em -1. Como -1 pertence ao intervalo [-1,0], obtemos
F(-1)=-1.
Agora vamos calcular os limites laterais em -1.
Passo 3
Cálculo do limite à esquerda em -1: para x<-1 temos F(x)=x^{2}+2x. Como polinômios são funções contínuas, podemos avaliar diretamente:
Conclusão sobre derivabilidade em -1: as derivadas laterais são diferentes (0 à esquerda e 1 à direita). Pelo critério da definição (os dois limites laterais do quociente incremental não coincidem), o limite total não existe; logo F não é derivável em -1.
Passo 9
Agora examinamos o ponto 0. Primeiro verifiquemos continuidade em 0 (passo necessário antes de derivabilidade). Temos F(0) dado pela parte do meio (pois 0\in[-1,0]), então
F(0)=0.
Cálculo do limite pela esquerda: para x<0 próximo de 0 usamos F(x)=x, logo
\lim_{x\to 0^-}F(x)=\lim_{x\to 0^-}x=0.
Cálculo do limite pela direita: para x>0 próximo de 0 temos F(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}. Quando x\to0^+ temos \ln(x)\to -\infty, portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\ln(x)}=0.
Os dois limites laterais são 0 e coincidem com F(0)=0, então F é contínua em 0.
Passo 10
Verificação da derivabilidade em 0: calculamos as derivadas laterais pelo quociente incremental.
Derivada lateral esquerda (h\to0^-): usando F(x)=x para x<0,
Quando t\to+\infty temos \dfrac{t}{\ln t}\to+\infty (pois t cresce muito mais rápido que \ln t). Assim
-\frac{t}{\ln t}\to -\infty.
Portanto a derivada lateral direita em 0 diverge para -\infty (não é finita).
Passo 12
Conclusão sobre derivabilidade em 0: as derivadas laterais são diferentes (pela esquerda dá 1, pela direita diverge para -\infty). Logo F não é derivável em 0.
Passo 13
Finalmente, calculamos \lim_{x\to+\infty}F(x). Para x>0 temos F(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}. Sabemos que \ln(x)\to+\infty quando x\to+\infty. Usando a propriedade básica de limites,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln(x)}=0.
O sinal é positivo porque para x>1 temos \ln(x)>0, então a fração é positiva e tende a 0 por decair quando o denominador cresce sem limite.