Dada a função: f(x)=\left\{\begin{array}{l}e x-e^{x}, \text { se } x<0 \\\ \frac{3 x-2 x^{3}}{x^{2}-1}, \text { se } x>0\end{array}\right..
Avalie:
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x), \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow-1} f(x), \lim _{x \rightarrow 1} f(x),

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases} e x - e^{x}, & \text{se } x<0,\\[4pt] \displaystyle\frac{3x-2x^{3}}{x^{2}-1}, & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede para avaliar os quatro limites
\lim_{x\to\infty} f(x),\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x),\qquad \lim_{x\to -1} f(x),\qquad \lim_{x\to 1} f(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para x<0 a expressão que vale é \,e x - e^{x}\,.
  • Para x>0 a expressão que vale é \displaystyle\frac{3x-2x^{3}}{x^{2}-1}.
  • Note que a segunda parte tem denominador x^{2}-1, que se anula em x=\pm 1; portanto x=\pm 1 não pertencem ao ramo x>0 (no caso de x=1 é especialmente relevante) e devemos checar comportamento próximo a esses pontos.
  • Não há definição explícita em x=0 nem em x=\pm 1; para os limites em \pm1 devemos verificar se o limite bilateral existe analisando os dois lados (mas observe que em torno de x=-1 os pontos à esquerda e à direita ainda pertencem a x<0, então talvez o limite bilateral use só a primeira expressão).]

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x). Para x\to\infty usamos o ramo x>0:
f(x)=\frac{3x-2x^{3}}{x^{2}-1}.
Técnica: comparar graus dos polinômios ou dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador (aqui x^{2}). Faço a divisão por x^{2}:
\frac{3x-2x^{3}}{x^{2}-1} = \frac{\frac{3x}{x^{2}}-\frac{2x^{3}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}} = \frac{\frac{3}{x}-2x}{1-\frac{1}{x^{2}}}.
Agora observo o comportamento quando x\to\infty: \frac{3}{x}\to 0 e \frac{1}{x^{2}}\to 0. Assim a expressão se aproxima de
\frac{0-2x}{1-0} = -2x.
Como -2x\to -\infty quando x\to\infty, concluo que
\lim_{x\to\infty} f(x) = -\infty.
Uma interpretação alternativa (mais rápida): grau do numerador é 3, grau do denominador é 2; razão dominante é -2x (coeficiente líder -2 do numerador sobre coeficiente líder 1 do denominador vezes x), que diverge para -\infty.

Passo 3

Agora \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x). Para x\to -\infty usamos o ramo x<0:
f(x)=e x - e^{x}.
Vamos analisar cada termo quando x\to -\infty:
  • O termo e x é o produto da constante e pelo número x; como x\to -\infty, temos e x\to -\infty (é uma função linear em x).
  • O termo e^{x} é a exponencial decrescente quando x\to -\infty; neste limite e^{x}\to 0^{+}.
    Portanto a diferença
e x - e^{x} \sim e x - 0 \to -\infty.
Logo
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty.
Observação didática: aqui o termo dominante é o linear e x (negativo e não limitado), enquanto e^{x} tende ao zero e não impede a divergência.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to -1} f(x). Perto de x=-1 tanto pontos à esquerda quanto à direita permanecem com x<0 (por exemplo, -1,1\pm 0{,}1 ficam em (- \infty,0)), então o ramo aplicável é o de x<0:
f(x)=e x - e^{x}\quad\text{(para \(x\) próximo de \(-1\))}.ó
A função g(x)=e x - e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}, logo o limite bilateral em -1 é simplesmente o valor da função em -1 (se estivesse definida ali; para limites só importa o valor do limite):
\lim_{x\to -1} f(x) = e\cdot(-1) - e^{-1} = -e - e^{-1}.
Podemos também escrever e^{-1}=\frac{1}{e}, então outra forma é -e - \frac{1}{e}.

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x). Para x próximo de 1 (tanto à esquerda quanto à direita) os pontos pertencem ao ramo x>0, então usamos
f(x)=\frac{3x-2x^{3}}{x^{2}-1}.
Observação: em x=1 o denominador anula-se (1^{2}-1=0). Computo o numerador em x=1:
3\cdot 1 - 2\cdot 1^{3} = 3 - 2 = 1 \neq 0.
Quando o denominador tende a zero e o numerador tende a uma constante não nula, a fração diverge (para \pm\infty). Para decidir o sinal da divergência, analiso os dois limites laterais:
  • Para x\to 1^{-} (valores um pouco menores que 1, mas positivos), o numerador aproxima-se de 1>0. O denominador x^{2}-1=(x-1)(x+1): aqui (x+1) é aproximadamente 2>0, enquanto (x-1) é negativo (pois x<1); portanto o denominador é um número pequeno e negativo. Assim a fração tende para -\infty. Logo
\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = -\infty.
  • Para x\to 1^{+} (valores um pouco maiores que 1), o numerador continua perto de 1>0. Agora (x-1)>0 e (x+1)>0, logo o denominador é pequeno e positivo, e a fração tende para +\infty. Assim
\lim_{x\to 1^{+}} f(x) = +\infty.
Como os limites laterais existem mas são infinitos com sinais opostos, o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) não existe (diverge; não existe um único valor finito nem um único sinal infinito).

Passo 6

Resumo das conclusões e interpretação final: já avaliamos todos os limites pedidos e explicamos o motivo de cada comportamento (graus de polinômios no caso racional; termos dominante linear e exponencial no caso do ramo x<0; análise de sinais para limites laterais em pontos singulares).

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = -\infty\n
\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\n
\displaystyle\lim_{x\to -1} f(x) = -e - e^{-1}\n
\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) não existe; \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = -\infty,\\ \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=+\infty

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