Mostre que
f(x)=\left\{\begin{array}{c} (x-3)^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x-3}\right) \text { se } x>3 \\\ \left(x^{2}+x-12\right) \operatorname{sen}(x-3) \text { se } x \leq 3 \end{array}\right.
é contínua em (-\infty, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\left\{\begin{array}{l} (x-3)^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x-3}\right)\quad\text{se }x>3,\\[4pt] \left(x^{2}+x-12\right)\operatorname{sen}(x-3)\quad\text{se }x\le 3, \end{array}\right.
é contínua em (-\infty,\infty).
Informações importantes dadas no enunciado:
\begin{aligned} &\text{Para }x>3:\quad f(x)=(x-3)^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x-3}\right).\\\ &\text{Para }x\le 3:\quad f(x)=\bigl(x^{2}+x-12\bigr)\operatorname{sen}(x-3). \end{aligned}
O que precisamos mostrar (explicitamente): para todo a\in(-\infty,\infty) temos que f é contínua em a. Em prática, isto se reduz a:
  • mostrar continuidade em todos os pontos a\neq 3 (onde a definição de f usa apenas uma das fórmulas); e
  • verificar continuidade em a=3 (ponto onde a definição muda de ramo).]

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado de forma simples): uma função g é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Para pontos onde g é dada por soma/produto/composição de funções que já conhecemos como contínuas (polinômios, \operatorname{sen}, etc.), a continuidade é automática — recorda que polinômios e \operatorname{sen} são contínuos em todo \mathbb{R}; produtos e composições de funções contínuas são contínuas onde todas as expressões envolvidas estão definidas.
Aplicando isso ao nosso f: para qualquer ponto a>3 usamos a fórmula (x-3)^{2}\operatorname{sen}(1/(x-3)). Nesta expressão:
  • x\mapsto (x-3)^{2} é polinomial, logo contínua em todo lugar;
  • x\mapsto 1/(x-3) é contínua para x\neq 3;
  • t\mapsto \operatorname{sen} t é contínua para todo t.
    Portanto a composição x\mapsto \operatorname{sen}(1/(x-3)) é contínua para x\neq 3, e o produto com (x-3)^{2} é contínuo para x>3. Conclusão: f é contínua em todo ponto a>3.

Passo 3

Analogamente para pontos a<3: a fórmula usada é \bigl(x^{2}+x-12\bigr)\operatorname{sen}(x-3). Aqui:
  • x\mapsto x^{2}+x-12 é polinomial (contínua em todo lugar);
  • x\mapsto \operatorname{sen}(x-3) é composição de \operatorname{sen} com uma tradução, logo contínua para todo x.
    Portanto o produto é contínuo para todo x<3. Conclusão: f é contínua em todo ponto a<3.
Até aqui cobrimos todos os pontos exceto x=3. Agora é onde precisamos trabalhar com limites laterais e usar alguns resultados limites clássicos.

Passo 4

Vamos calcular o valor de f em x=3. Como x=3 pertence à parte x\le 3, usamos essa fórmula:
f(3)=\bigl(3^{2}+3-12\bigr)\operatorname{sen}(3-3).
Calcule passo a passo:
3^{2}+3-12=9+3-12=0,
e \operatorname{sen}(0)=0. Logo
f(3)=0\cdot 0 = 0.
Então o valor da função em 3 é 0. Para concluir continuidade em 3 precisamos mostrar que \lim_{x\to 3} f(x)=0.

Passo 5

Cálculo do limite pela direita, \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
Para x>3 temos
f(x)=(x-3)^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x-3}\right).
Usamos uma desigualdade simples: para todo real t vale |\operatorname{sen} t|\le 1. Assim, para x>3,
\bigl| (x-3)^{2}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{x-3}\right)\bigr| \le (x-3)^{2}\cdot 1=(x-3)^{2}.
Quando x\to 3^{+} temos (x-3)^{2}\to 0. Pelo Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”), se uma função h(x) satisfaz - (x-3)^{2}\le h(x)\le (x-3)^{2} e (x-3)^{2}\to 0, então h(x)\to 0. Aplicando isso com h(x)=(x-3)^{2}\operatorname{sen}(1/(x-3)) obtemos
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=0.
Explicando rápido o Teorema do Confronto (para você entender): se uma sequência ou função fica presa entre duas que tendem ao mesmo limite L, então ela também tende a L. Aqui as duas fronteiras são \pm (x-3)^{2}, ambas tendendo a 0.

Passo 6

Cálculo do limite pela esquerda, \lim_{x\to 3^{-}} f(x).
Para x\le 3 temos
f(x)=\bigl(x^{2}+x-12\bigr)\operatorname{sen}(x-3).
Observe que o polinômio x^{2}+x-12 fatora:
x^{2}+x-12=(x-3)(x+4).
Portanto, para x próximos de 3,
f(x)=(x-3)(x+4)\operatorname{sen}(x-3).
Reescrevemos de uma forma conveniente para usar o limite clássico \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Faça a substituição t=x-3. Então quando x\to 3 temos t\to 0 e
f(x)=(x+4)\cdot (x-3)\operatorname{sen}(x-3)=(x+4)\cdot \bigl((x-3)\operatorname{sen}(x-3)\bigr).
Escrevendo um pouco mais:
(x-3)\operatorname{sen}(x-3)=(x-3)^{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x-3}.
Agora analise cada fator quando x\to 3:
  • x+4\to 7;
  • (x-3)^{2}\to 0;
  • \dfrac{\operatorname{sen}(x-3)}{x-3}\to 1 (este é o limite clássico da função seno).
Multiplicando limites (fatores tendendo a limites finitos), obtemos
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=7\cdot 0\cdot 1 = 0.
Logo o limite pela esquerda também é 0.
Se você não lembra bem por que \lim_{t\to0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1: é um resultado padrão de cálculo que pode ser provado geometricamente ou pelo Teorema do Confronto; intuitivamente \operatorname{sen} t se comporta como t quando t é pequeno.

Passo 7

Conclusão sobre o ponto x=3.
Encontramos:
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 3^{-}} f(x)=0,\qquad f(3)=0.
Como as duas limites laterais existem, são iguais entre si e igualam o valor da função em 3, segue que
\lim_{x\to 3} f(x)=f(3),
ou seja, f é contínua em x=3.

Passo 8

Juntando tudo:
  • mostramos que f é contínua em todos os pontos x>3;
  • mostramos que f é contínua em todos os pontos x<3;
  • mostramos que f é contínua em x=3.
Portanto f é contínua em todo (-\infty,\infty).
Força aí — deu trabalho, mas o importante é que a chave foi verificar o ponto de mudança x=3 usando desigualdade/squeeze e o limite \operatorname{sen} t/t\to1.

Resposta

f é contínua em (-\infty,\infty).

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