1)Uma empresa lançou recentemente no mercado uma dieta de emagrecimento.E pretende-se averiguar se a porcentagem de usuários acima de 60 anos é significativamente maior que 30 \% .Para tal houve escolha aleatória de 16 indivíduos entre os adeptos da nova dieta,e apurou-se que apenas 5 tinham idade superior a 60 anos.Verifique se a afirmação é correta com um teste baseado na distribuição Binomial.

Passo 1

O problema é um teste de hipótese para proporção baseado na distribuição binomial. Temos n=16 indivíduos de uma dieta, dos quais x=5 têm mais de 60 anos. Queremos verificar, ao nível de significância \alpha=0,05, se a proporção verdadeira p de usuários com mais de 60 anos é maior que 0,30.

Passo 2

Formulando as hipóteses:
H_0:\;p=0,30
H_1:\;p>0,30

Passo 3

Sob H_0, a variável aleatória X que conta quantos têm mais de 60 anos segue
X\sim \mathrm{Binomial}(n=16,\;p=0,3).
Como a alternativa é unilateral à direita p>0,3, o p-valor é
p\text{-valor} = P_{H_0}(X\ge5).

Passo 4

Calculamos
P_{H_0}(X\ge5) =1 - P_{H_0}(X\le4) =1 - \sum_{k=0}^{4}\binom{16}{k}(0,3)^k(0,7)^{16-k}.
Agora, aproximadamente, P(X =0) = (0,7)^{16}\approx0,0033,
P(X =1) = 16\cdot0,3\cdot(0,7)^{15}\approx0,0228,
P(X =2) = 120\cdot0,3^2\cdot(0,7)^{14}\approx0,0734,
P(X =3) = 560\cdot0,3^3\cdot(0,7)^{13}\approx0,1468,
P(X =4) = 1820\cdot0,3^4\cdot(0,7)^{12}\approx0,2045.
Somando,
P_{H_0}(X\le4)\approx0,0033+0,0228+0,0734+0,1468+0,2045=0,4508,
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p\text{-valor}=1-0,4508=0,5492.

Passo 5

Como p-valor \approx0,55 é muito maior que \alpha=0,05, não rejeitamos H_0. Não há evidência significativa de que a proporção de usuários acima de 60 anos seja maior que 30\%.

Resposta

Não existem evidências, ao nível de 5\%, para afirmar que a porcentagem de usuários acima de 60 anos é significativamente maior que 30\%.

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