2)A Lei de Mendel afirma que para 4 genes, 3 são dominantes e 1 é recessivo.Em certo experimento observou-se 54 genes dominantes e 26 recessivos.
a)Verifique,pelo teste Binomial,se a lei se aplica ao experimento realizado.
b)Utilize o teste baseado na distribuição aproximada.

Passo 1

O enunciado pede dois testes para verificar se os dados observados seguem a proporção mendeliana de dominantes e recessivos em que p(\text{dominante})=3/4 e p(\text{recessivo})=1/4. No experimento observou-se 54 dominantes e 26 recessivos, totalizando n=80 genes. Vamos em (a) usar o teste exato da distribuição Binomial e em (b) a aproximação pela Normal.

Passo 2

(a) Teste binomial exato
Definimos
H_0:\;p=3/4, \quad H_1:\;p\neq3/4,
e seja X\sim\mathrm{Bin}(n=80,p=3/4) o número de genes dominantes. Observamos x=54. O p-valor bilateral é
p\text{-valor} =2\min\bigl\{P(X\le54),\,P(X\ge54)\bigr\}.
Usando tabela ou software para a CDF de \mathrm{Bin}(80,0.75) obtém-se
P(X\le54)\approx0{,}0607,
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p\text{-valor}\approx2\times0{,}0607=0{,}1214.
Como p\text{-valor}>0{,}05, não rejeitamos H_0.

Passo 3

(b) Teste aproximado pela distribuição Normal
Pelo Teorema do Limite Central,
X\approx N\bigl(\mu=np_0,\;\sigma^2=np_0(1-p_0)\bigr) =N(60,\;15),
isto é, \sigma=\sqrt{15}\approx3{,}873. Calculamos o escore
z=\frac{x-\mu}{\sigma} =\frac{54-60}{3{,}873} \approx -1{,}55.
O p-valor bilateral é
p\text{-valor}=2\Phi(-|z|) \approx2\Phi(-1{,}55) \approx2\times0{,}0607 =0{,}1214.
Novamente p\text{-valor}>0{,}05, logo não rejeitamos H_0.

Resposta

Em ambos os testes (a) exato binomial e (b) aproximado normal o p-valor é aproximadamente 0{,}12, superior ao nível de 5\%. Portanto, não há evidência para rejeitar a Lei de Mendel.

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