3)A administração de uma comunidade afirma que das famílias que recebem de 1 a 3 salários, 60 \% delas recebem vale transporte.Em uma amostra de 15 famílias com essa renda observou-se que 5 recebem vale transporte.Com base nesses dados podemos aceitar a afirmação da administração da comunidade?Conclua:
a)utilizando nível de significância de 5\%,usando a distribuição exata da estatística e a distribuição aproximada.
b)determinando o nível descritivo(p-valor)do teste.
c)Construa um intervalo de confiança para a proporção das famílias que recebem vale transporte.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=15 em que X=5 famílias recebem vale transporte. A hipótese nula é
H_0: p = 0{,}6
e a hipótese alternativa é
H_1: p \neq 0{,}6,
com nível de significância \alpha=0{,}05. Vamos testar essa proporção usando (1) o teste exato pela distribuição Binomial e (2) o teste aproximado pela Normal com correção de continuidade.

Passo 2

Para o teste exato, X\sim \mathrm{Binomial}(15,0{,}6). Calculamos
P(X\le5) \;=\;\sum_{k=0}^{5}\binom{15}{k}(0{,}6)^k(0{,}4)^{15-k}\approx0{,}0339.
Em teste bicaudal, o nível crítico (p-valor exato) é
p_{\text{exato}} \approx 2\cdot P(X\le5) \approx 2\times0{,}0339 = 0{,}0678.
Como p_{\text{exato}}>0{,}05, não rejeitamos H_0.

Passo 3

No teste aproximado, usamos X\approx N(\mu,\sigma^2) com
\mu = n p_0 = 15\times0{,}6 = 9,\quad \sigma = \sqrt{n p_0(1-p_0)} = \sqrt{15\times0{,}6\times0{,}4}\approx1{,}897.
Com correção de continuidade, a estatística é
z = \frac{5 + 0{,}5 - 9}{1{,}897} \approx \frac{-3{,}5}{1{,}897}\approx -1{,}845.
O p-valor aproximado é
p_{\text{normal}} = 2\,\Phi(-|z|)\approx 2\times0{,}0325 = 0{,}065.
Como 0{,}065>0{,}05, também não rejeitamos H_0.

Passo 4

O nível descritivo (p-valor) do teste exato é
p\text{-valor}\approx0{,}0678.
Isso indica que, com esses dados, a evidência contra H_0 não é forte o suficiente ao nível de 5\%.

Passo 5

Para um intervalo de confiança de 95\% para p, usamos o estimador \hat p = X/n = 5/15 = 0{,}333 e a fórmula Wald:
\text{se}(\hat p)=\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0{,}333\cdot0{,}667}{15}}\approx0{,}1217.
O intervalo de confiança é
\hat p \pm z_{0,975}\,\text{se}(\hat p) =0{,}333 \pm 1{,}96\times0{,}1217 \approx [0{,}094\;;\;0{,}572].

Resposta

a) Teste exato: p_{\text{exato}}\approx0{,}0678>0{,}05, não rejeita H_0.
Teste aproximado: p_{\text{normal}}\approx0{,}065>0{,}05, não rejeita H_0.
b) p-valor exato \approx0{,}0678.
c) Intervalo de confiança de 95\%: [0{,}094\;;\;0{,}572].

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