a)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma soma infinita da forma
e a equação diz que essa soma é igual a
, com a condição de que
. A matéria aqui é Séries Geométricas, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como aplicar a fórmula da soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. A fórmula geral pra uma série geométrica infinita é:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão da série, -
para que a série converja.
Passo 3
Agora, vamos identificar os elementos da nossa série original dentro dessa fórmula. A nossa série é:
Aqui, o primeiro termo
é 1, e a razão
é
, porque cada termo é
vezes o termo anterior.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da soma da série geométrica. Substituindo
e
na fórmula, temos:
Isso confirma que a soma infinita da nossa série é igual a
, desde que a condição
seja satisfeita, garantindo que
e a série convirja.
Resposta
A soma infinita
é igual a
, desde que
.