a) 1+x^2+x^4+cdots+x^2 n+cdots=11-x^2,|x|<1

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma soma infinita da forma 1 + x^2 + x^4 + cdots + x^2n + cdots e a equação diz que essa soma é igual a 11 - x^2, com a condição de que |x| < 1. A matéria aqui é Séries Geométricas, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como aplicar a fórmula da soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. A fórmula geral pra uma série geométrica infinita é:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots = a1 - r
onde:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão da série,
  • |r| < 1 para que a série converja.

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da nossa série original dentro dessa fórmula. A nossa série é:
1 + x^2 + x^4 + cdots + x^2n + cdots
Aqui, o primeiro termo a é 1, e a razão r é x^2, porque cada termo é x^2 vezes o termo anterior.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da soma da série geométrica. Substituindo a = 1 e r = x^2 na fórmula, temos:
S = 11 - x^2
Isso confirma que a soma infinita da nossa série é igual a 11 - x^2, desde que a condição |x| < 1 seja satisfeita, garantindo que |x^2| < 1 e a série convirja.

Resposta

A soma infinita 1 + x^2 + x^4 + cdots é igual a 11 - x^2, desde que |x| < 1.

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