Calcular a derivada da função, onde ela existir, no seguinte caso:
f(x)=x^-2+x^x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x{-2}+x{x}, usando derivadas de potências e de funções da forma x^x. Vamos precisar da regra do poder para x^{-2} e da técnica de logaritmo para x^x.

Passo 2

Para x^{-2}, aplicamos a regra do poder: se u=x^n então u’=n x^{n-1}. Aqui n=-2, logo $ ddxx^-2=-2x^-3

Passo 3

Para x^x, escrevemos como exponencial e usamos cadeia mais produto. Primeiro: $ x^x=e^xln x Seja g(x)=x\ln x; então g’(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1. Daí $ ddxx^x=e^xln xcdot(ln x+1)=x^x(ln x+1)

Passo 4

A derivada só faz sentido onde as duas funções existem. x^{-2} existe para x≠0, e x^x (pela definição usual) existe para x>0. Assim, f’(x) existe para x>0.

Passo 5

Somando os termos, concluímos que $ f'(x)=-2x^-3+x^x(ln x+1)

Resposta

f’(x)=-2x{-3}+xx(\ln x+1), para x>0.

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