Determine a família de primitivas para cada função: integral e^2 xe^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas da função f(x)=e^2xe^2x+1. Vamos usar substituição simples para integrar essa razão de exponenciais.

Passo 2

Escolhemos u=e^2x+1. Então
du=2e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx=du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral e^2xe^2x+1,dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral duu

Passo 4

Integrando e voltando a variável x:
12ln|u| + C = 12lnl(e^2x+1r) + C

Resposta

A família de primitivas é F(x)=tfrac12lnl(e^2x+1r)+C.

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