(1,5 ponto) Encontre o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de
. A matéria aqui é sobre números complexos e vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e o Teorema de De Moivre para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma polar. Isso significa que vamos encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) desse número.
Passo 3
Módulo ®: Para encontrar o módulo, usamos a fórmula
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Aqui,
e
. Então:
Passo 4
Argumento (θ): O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo. Usamos a fórmula
.
Mas atenção: como
é negativo e
é positivo, o número está no segundo quadrante, então precisamos ajustar o ângulo.
Isso nos dá um ângulo de
ou
radianos.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar o Teorema de De Moivre, que nos diz que:
Aqui,
. Então:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
- Módulo elevado à potência:
- Cálculo do ângulo:
Sabemos que
é equivalente a
no círculo trigonométrico (pois é duas voltas completas), então:
Resposta
Portanto, o valor de
é: