(1,5 ponto) Encontre o valor de (-raiz2+raiz6 i)^6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de (-raiz2 + raiz6 i)^6. A matéria aqui é sobre números complexos e vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e o Teorema de De Moivre para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo - raiz2 + raiz6 i na forma polar. Isso significa que vamos encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) desse número.

Passo 3

Módulo ®: Para encontrar o módulo, usamos a fórmula r = raiza^2 + b^2, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
Aqui, a = -raiz2 e b = raiz6. Então:
r = raiz(-raiz2)^2 + (raiz6)^2 = raiz2 + 6 = raiz8 = 2raiz2

Passo 4

Argumento (θ): O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo. Usamos a fórmula theta = arctan(ba).
Mas atenção: como a é negativo e b é positivo, o número está no segundo quadrante, então precisamos ajustar o ângulo.
theta = arctan(raiz6-raiz2) = arctan(-raiz3)
Isso nos dá um ângulo de 120^circ ou 2pi3 radianos.

Passo 5

Agora que temos r = 2raiz2 e theta = 2pi3, podemos aplicar o Teorema de De Moivre, que nos diz que:
(r (costheta + i sintheta))^n = r^n (cos(ntheta) + i sin(ntheta))
Aqui, n = 6. Então:
(2raiz2)^6 (cos(6 times 2pi3) + i sin(6 times 2pi3))

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Módulo elevado à potência:
(2raiz2)^6 = 2^6 times (raiz2)^6 = 64 times 8 = 512
  1. Cálculo do ângulo:
6 times 2pi3 = 4pi
Sabemos que 4pi é equivalente a 0 no círculo trigonométrico (pois é duas voltas completas), então:
cos(4pi) = 1 e sin(4pi) = 0

Resposta

Portanto, o valor de (-raiz2 + raiz6 i)^6 é:
512 times (1 + 0i) = 512

Exercícios relacionados