1+x^2+x^4+ldots=sumk=0^infty x^2 k

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita 1 + x² + x⁴ + …, escrita como sumk=0^infty x^2k. O conteúdo aqui é reação em série geométrica infinita e vamos precisar usar a fórmula de soma de uma série geométrica, além da condição de convergência.

Passo 2

Reconhecemos que a série é geométrica com primeiro termo a = 1 e razão r = x^2.

Passo 3

Uma série geométrica infinita só converge se |r| < 1. Aqui isso exige |x^2| < 1, ou seja, |x| < 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, S = a1 - r substituímos a = 1 e r = x^2.

Resposta

Para |x|<1, a soma é 11 - x^2.

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