1. sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita sumk=1^infty (-1)^k+1k^2(k+2)!. Vamos usar séries de potências e propriedades de e^x para resolver.

Passo 2

Fazendo a mudança de índice n=k+2, temos k=n-2 e (-1)^k+1=(-1)^n-1=-(-1)^n. Assim:
T = sumk=1^infty(-1)^k+1k^2(k+2)! = -sumn=3^infty(-1)^n(n-2)^2n!

Passo 3

Para aproveitar somas conhecidas de e^-1, escrevemos a parte infinita somando de n=0 até infinito e subtraindo os três primeiros termos:
$$ T = -\Bigl(\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(n-2)^2}{n!} ;-
\sum_{n=0}{2}(-1)n\frac{(n-2)^2}{n!}\Bigr). $$

Passo 4

Expandindo (n-2)^2 = n^2 -4n +4, definimos
$$ A = \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(n-2)^2}{n!}
= \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{n^2}{n!} -4\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{n}{n!} +4\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{n!}. $$

Passo 5

Agora usamos as séries de e^-1:
S0=sumn=0^infty(-1)^n1n!=e^-1, S1=sumn=0^infty(-1)^nnn!=-e^-1, S2=sumn=0^infty(-1)^nn^2n!=0
Então
A = S2 -4S1 +4S0 = 0 -4(-e^-1) +4e^-1 = 8e^-1

Passo 6

Calculamos a soma parcial de n=0 a 2:
sumn=0^2(-1)^n(n-2)^2n! = (4) +(-1)+0 =3

Passo 7

Substituindo A=8e^-1 e a soma parcial na expressão de T, chegamos à forma fechada do somatório.

Resposta

3 - 8e^-1

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