Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma infinita
. Vamos usar séries de potências e propriedades de
para resolver.
Passo 2
Fazendo a mudança de índice
, temos
e
. Assim:
Passo 3
Para aproveitar somas conhecidas de
, escrevemos a parte infinita somando de
até infinito e subtraindo os três primeiros termos:
$$ T = -\Bigl(\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(n-2)^2}{n!} ;-
\sum_{n=0}{2}(-1)n\frac{(n-2)^2}{n!}\Bigr). $$
Passo 4
Expandindo
, definimos
$$ A = \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(n-2)^2}{n!}
= \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{n^2}{n!} -4\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{n}{n!} +4\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{n!}. $$
Passo 5
Agora usamos as séries de
:
Então
Passo 6
Calculamos a soma parcial de
a
:
Passo 7
Substituindo
e a soma parcial na expressão de
, chegamos à forma fechada do somatório.