1. sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita sumk=1^infty (-1)^k+1k!6^k. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, e vamos precisar usar o critério de que o termo geral deve tender a zero (e opcionalmente o teste da razão) para decidir se a série converge.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral ak = (-1)^k+1k!6^k. Primeiro, note que para a série convergir é necessário que akto 0. Usando o teste da razão, consideramos
limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty(k+1)!/6^k+1k!/6^k = limktoinftyk+16 = infty

Passo 3

Como esse limite é maior que 1, os termos em módulo crescem e não vão a zero. Portanto, nem mesmo a condição necessária de akto 0 é cumprida.

Passo 4

Concluímos que a série não converge, ou seja, diverge.

Resposta

A série diverge.

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