1. 3(1+x^2) d yd x=2 x y(y^3-1)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3l(1+x^2r),dydx=2x,yl(y^3-1r)
Este é um caso de equação separável: vamos separar as variáveis y e x e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Isolando dydx e separando variáveis, obtemos
dydx =2x,y,(y^3-1)3,(1+x^2) Longrightarrow dyy,(y^3-1) =2x3,(1+x^2),dx

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo por frações parciais. Primeiro escrevemos
1y,(y^3-1) =Ay+By-1+C,y+Dy^2+y+1
Comparando numeradores, chega-se ao sistema
A+B+C=0, 2B-C=0, B-D=0, -A=1,
cuja solução é
A=-1, B=tfrac13, C=tfrac23, D=tfrac13
Logo
1y(y^3-1) =-1y+1/3y-1+tfrac23y+tfrac13y^2+y+1
Integramos então
integraldyy(y^3-1) =integrall(-1y+13(y-1)+13,2y+1y^2+y+1r)dy =-ln|y|+tfrac13ln|y-1|+tfrac13lnl(y^2+y+1r)+C1

Passo 4

Integramos o lado direito:
integral2x3(1+x^2),dx =23integralx1+x^2,dx =23cdot12ln(1+x^2)+C2 =13ln(1+x^2)+C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e reunindo constantes ( C=C2-C1), temos
-ln|y|+tfrac13ln|y-1|+tfrac13lnl(y^2+y+1r) =tfrac13ln(1+x^2)+C
Multiplicando por 3, combinando os logaritmos e exponenciando, obtém-se a forma implícita
(y-1),(y^2+y+1)y^3=K,(1+x^2),
onde K=e^3C é constante arbitrária. Como (y-1)(y^2+y+1)=y^3-1, fica

Resposta

y^3-1y^3=C,(1+x^2),
que é a solução geral da equação diferencial.

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