Calcule a derivada da função dada.
f(x)=sen(x) sec (x)1+tg(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \r
f(x)=sen(x),sec(x)1+tg(x)\r
Aqui vamos usar identidades trigonométricas para simplificar a função e depois aplicar regra da cadeia e derivada de quociente.

Passo 2

Observe que \r
sen(x),sec(x)=sin(x)cdot1cos(x)=tan(x)\r
Logo podemos reescrever \r
f(x)=tan(x)1+tan(x)

Passo 3

Defina t=tan(x). Então a função vira \r
f(x)=gl(t(x)r)com g(t)=t1+t\r
Usaremos a regra da cadeia: \r
f'(x)=g'(t),t'(x)

Passo 4

Calcule g'(t) usando derivada de quociente: \r
g(t)=t1+tLongrightarrow g'(t)=(1+t)cdot1 - tcdot1(1+t)^2=1(1+t)^2

Passo 5

Sabemos também que \r
t'(x)=ddxtan(x)=sec^2(x)\r
Portanto, juntando tudo: \r
f'(x)=1l(1+tan(x)r)^2;sec^2(x)

Resposta

f'(x)=sec^2(x)l(1+tan(x)r)^2

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