(1x y^3+ln (x)) d x=3 y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1/x · y³ + ln(x)) dx = 3 y² dy usando técnicas de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo no formato M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, temos
M(x,y)= y^3x+ln(x) e N(x,y)= -3y^2.

Passo 3

Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
∂M/∂y= 3y^2x e ∂N/∂x=0. Como elas não coincidem, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante μ(x) em função só de x usando
1Nl(∂M∂y-∂N∂xr)=3y^2/x-0-3y^2=-1x
Logo
μ(x)=e^integral -1/x,dx=x^-1

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por μ(x)=1/x para obter uma nova M~ e N~:
M~(x,y)= y^3x^2+ln(x)x, N~(x,y)= -3y^2x.

Passo 6

Verificamos que agora a equação é exata, pois ∂M~/∂y=3y²/x² e ∂N~/∂x=3y²/x². Então existe uma função potencial φ(x,y) com φ_x=M~ e φ_y=N~.

Passo 7

Para achar φ(x,y), integramos φ_x=M~ em relação a x:
φ(x,y)=integrall(y^3x^2+ln xxr)dx=-y^3x+12(ln x)^2+h(y)
Derivando em y e igualando a N~ dá h’(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 8

A solução geral implícita é dada por φ(x,y)=C, ou seja

Resposta

\frac{1}{2}(\ln x)2-\frac{y3}{x}=C

Exercícios relacionados