Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1/x · y³ + ln(x)) dx = 3 y² dy usando técnicas de equações exatas e fator integrante.
(1/x · y³ + ln(x)) dx = 3 y² dy usando técnicas de equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo no formato M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, temos
M(x,y)= e N(x,y)=
.
M(x,y)=
Passo 3
Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
∂M/∂y= e ∂N/∂x=0. Como elas não coincidem, a equação não é exata.
∂M/∂y=
Passo 4
Buscamos um fator integrante μ(x) em função só de x usando
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Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por μ(x)=1/x para obter uma nova M~ e N~:
M~(x,y)= , N~(x,y)=
.
M~(x,y)=
Passo 6
Verificamos que agora a equação é exata, pois ∂M~/∂y=3y²/x² e ∂N~/∂x=3y²/x². Então existe uma função potencial φ(x,y) com φ_x=M~ e φ_y=N~.
Passo 7
Para achar φ(x,y), integramos φ_x=M~ em relação a x:
Derivando em y e igualando a N~ dá h’(y)=0, logo h(y)=constante.
Passo 8
A solução geral implícita é dada por φ(x,y)=C, ou seja
Resposta
\frac{1}{2}(\ln x)2-\frac{y3}{x}=C