Determine se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Esse problema está dentro do tópico de Séries Numéricas, mais especificamente tratando de Testes de Convergência de Séries. Para resolver, vamos utilizar o Teste da Série P, que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Queremos simplificar essa expressão para entender seu comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 3
Observando o numerador
e o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, os termos de menor grau (como o
ou o
) têm menos impacto. Portanto, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, com essa simplificação, a série se comporta de forma semelhante a:
Essa é uma série do tipo série p, onde o termo geral é
e
.
Passo 5
O Teste da Série p nos diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série análoga diverge.
Resposta
Com base no Teste da Série p, a série
diverge.