Determine se a série converge ou diverge.
(1 ponto) sumn=0^infty n^2-3raizn^5+1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=0^infty n^2-3raizn^5+1 converge ou diverge. Esse problema está dentro do tópico de Séries Numéricas, mais especificamente tratando de Testes de Convergência de Séries. Para resolver, vamos utilizar o Teste da Série P, que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries da forma sum 1n^p.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: n^2-3raizn^5+1. Queremos simplificar essa expressão para entender seu comportamento quando n tende ao infinito.

Passo 3

Observando o numerador n^2 - 3 e o denominador raizn^5 + 1, percebemos que, para valores grandes de n, os termos de menor grau (como o -3 ou o +1) têm menos impacto. Portanto, podemos aproximar:
n^2 - 3raizn^5 + 1 approx n^2raizn^5 = n^2n^5/2 = 1n^1/2

Passo 4

Agora, com essa simplificação, a série se comporta de forma semelhante a:
sumn=1^infty 1n^1/2
Essa é uma série do tipo série p, onde o termo geral é 1n^p e p = 12.

Passo 5

O Teste da Série p nos diz que a série sum 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 12, que é menor que 1. Portanto, a série análoga diverge.

Resposta

Com base no Teste da Série p, a série sumn=0^infty n^2-3raizn^5+1 diverge.

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