Resolver as seguintes equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial
2 x y ln y dx + (x² + y² √(y²+1)) dy = 0. O conteúdo principal é equações exatas e fator integrante; vamos buscar um fator que torne a equação exata.
2 x y ln y dx + (x² + y² √(y²+1)) dy = 0. O conteúdo principal é equações exatas e fator integrante; vamos buscar um fator que torne a equação exata.
Passo 2
Definimos as funções:
M(x,y)=2 x y ln y
N(x,y)=x²+y²√(y²+1)
Calculamos as derivadas:
∂M/∂y=2 x ln y+2 x
∂N/∂x=2 x
Como ∂M/∂y≠∂N/∂x, a equação não é exata.
M(x,y)=2 x y ln y
N(x,y)=x²+y²√(y²+1)
Calculamos as derivadas:
∂M/∂y=2 x ln y+2 x
∂N/∂x=2 x
Como ∂M/∂y≠∂N/∂x, a equação não é exata.
Passo 3
Tentamos um fator integrante que dependa só de y. A fórmula é
f(y)=(∂N/∂x−∂M/∂y)/M
Logo
f(y)=(2 x−(2 x ln y+2 x))/(2 x y ln y)=−1/y
Como depende só de y, existe μ(y).
f(y)=(∂N/∂x−∂M/∂y)/M
Logo
f(y)=(2 x−(2 x ln y+2 x))/(2 x y ln y)=−1/y
Como depende só de y, existe μ(y).
Passo 4
Calculamos
μ(y)=exp(∫f(y)dy)=exp(∫−1/y dy)=exp(−ln y)=1/y
Esse é o fator integrante.
μ(y)=exp(∫f(y)dy)=exp(∫−1/y dy)=exp(−ln y)=1/y
Esse é o fator integrante.
Passo 5
Multiplicamos a EDO por μ(y)=1/y. Obtemos a nova equação:
M̃=2 x ln y
Ñ=x²/y+y√(y²+1)
Verificamos a exatidão:
∂M̃/∂y=2 x·(1/y)=2 x/y
∂Ñ/∂x=2 x/y
Agora ∂M̃/∂y=∂Ñ/∂x, logo é exata.
M̃=2 x ln y
Ñ=x²/y+y√(y²+1)
Verificamos a exatidão:
∂M̃/∂y=2 x·(1/y)=2 x/y
∂Ñ/∂x=2 x/y
Agora ∂M̃/∂y=∂Ñ/∂x, logo é exata.
Passo 6
Procuramos uma função potencial ψ(x,y) tal que ψ_x=M̃=2 x ln y. Integramos em x:
ψ(x,y)=∫2 x ln y dx=x² ln y+h(y)
ψ(x,y)=∫2 x ln y dx=x² ln y+h(y)
Passo 7
Derivamos ψ em relação a y e igualamos a Ñ:
ψ_y=x²(1/y)+h’(y)=x²/y+h’(y)
Queremos ψ_y=Ñ=x²/y+y√(y²+1)
Logo h’(y)=y√(y²+1). Integrando:
ψ_y=x²(1/y)+h’(y)=x²/y+h’(y)
Queremos ψ_y=Ñ=x²/y+y√(y²+1)
Logo h’(y)=y√(y²+1). Integrando:
Passo 8
A solução geral vem de ψ(x,y)=C. Assim:
Resposta
x^2\ln y+\frac{1}{3}(y2+1){3/2}=C