Resolver as seguintes equações diferenciais
(3 x+6y) d x+(x^2y+3 yx) d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é l(3x+tfrac6yr)dx + l(tfracx^2y+tfrac3yxr)dy = 0. Isso é uma equação de primeira ordem na forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Vamos usar o método de fator integrante do tipo x^a y^b.

Passo 2

Primeiro, testamos se a equação é exata. Definimos
M(x,y)=3x+tfrac6y, N(x,y)=tfracx^2y+tfrac3yx
Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{6}{y^2},\quad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{2x}{y}-\frac{3y}{x^2}.
$$
Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(x,y)=x^a y^b. A condição de exatidão imposta é
$$\frac{b}{y}M + M_y = \frac{a}{x}N + N_x.
byM + My = axN + Nx 3b = a+2,\quad 3a-3=0,\quad 6b-6=0.
x/yíã\mu(x,y)=xy.$$

Passo 4

Multiplicamos a equação original por xy, obtendo
M^*(x,y)=xyl(3x+tfrac6yr)=3x^2y+6x,
$$N*(x,y)=xy\Bigl(\tfrac{x2}{y}+\tfrac{3y}{x}\Bigr)=x3+3y2.
N^*(x,y)=xyl(tfracx^2y+tfrac3yxr)=x^3+3y^2 ã\frac{\partial M^}{\partial y}=3x^2,\quad \frac{\partial N^}{\partial x}=3x^2,
$$
logo é exata.

Passo 5

Agora existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M^*=3x^2y+6x
Integramos em relação a x:
$$F(x,y)=\int(3x^2y+6x),dx = x3y+3x2 + h(y).
F(x,y)=integral(3x^2y+6x),dx = x^3y+3x^2 + h(y) çã\frac{dF}{dy}=x^3 + h’(y)
$$
e igualamos a y, obtendo dFdy=x^3 + h'(y) e assim N^*=x^3+3y^2.

Passo 6

Portanto, a solução geral implícita é
F(x,y)=x^3y+3x^2+y^3=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

x^3y + 3x^2 + y^3 = C

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