Resolver as seguintes equações diferenciais
Passo 1
A equação diferencial dada é
. Isso é uma equação de primeira ordem na forma
. Vamos usar o método de fator integrante do tipo
.
Passo 2
Primeiro, testamos se a equação é exata. Definimos
Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{6}{y^2},\quad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{2x}{y}-\frac{3y}{x^2}.
$$
Como não são iguais, a equação não é exata.
Como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. A condição de exatidão imposta é
$$\frac{b}{y}M + M_y = \frac{a}{x}N + N_x.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
$$N*(x,y)=xy\Bigl(\tfrac{x2}{y}+\tfrac{3y}{x}\Bigr)=x3+3y2.
$$
logo é exata.
logo é exata.
Passo 5
Agora existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
$$F(x,y)=\int(3x^2y+6x),dx = x3y+3x2 + h(y).
$$
e igualamos a , obtendo
e assim
.
e igualamos a
Passo 6
Portanto, a solução geral implícita é
onde
Resposta
x^3y + 3x^2 + y^3 = C