(1+x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0 ; y_{1}=x

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial ordinária
(1+x)\,y''+x\,y'-y=0
e informa que uma solução conhecida é y_1=x. O que o enunciado pede implicitamente é encontrar a solução geral da equação (ou, pelo menos, uma segunda solução linearmente independente para formar a combinação linear geral). As informações relevantes são:
  • A EDO é linear, de segunda ordem, com coeficientes dependentes de x.
  • Uma solução particular conhecida é y_1=x.

Passo 2

Estratégia: quando se conhece uma solução y_1 de uma EDO linear de segunda ordem homogênea, o método padrão para obter uma segunda solução é a “redução de ordem”: buscar y_2=v(x)\,y_1(x) com v função desconhecida. Vou aplicar esse método passo a passo, explicando cada conta.
Primeiro, é conveniente colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo por 1+x (assumindo x\neq-1 localmente):
y''+\frac{x}{1+x}\,y'-\frac{1}{1+x}\,y=0.
Assim definimos
P(x)=\frac{x}{1+x},\qquad Q(x)=-\frac{1}{1+x}.

Passo 3

Agora aplico a redução de ordem. Ponho
y=v(x)\,y_1(x)=v(x)\,x.
Vou calcular y' e y'' em termos de v, v', v'' (isso é mecânica básica de derivação de produto; não pule):
y' = v' x + v, \qquad y'' = v'' x + 2v'.
Substituo y, y', y'' na equação original (na forma dividida por 1+x ou diretamente na forma original; uso a forma original para evitar frações desnecessárias):
(1+x)(v''x+2v') + x(v' x + v) - v x = 0.
Agora simplifico termo a termo. Primeiro expandindo:
(1+x)v''x + 2(1+x)v' + x^2 v' + x v - v x = 0.
Observe que x v - v x = 0, cancelam-se. Restam os termos em v'' e v':
(1+x)x\,v'' + \bigl(2(1+x)+x^2\bigr)\,v' = 0.
Esta é uma equação que não envolve v sem derivada: é uma equação de segunda ordem em v que, por dependência apenas de v' e v'', pode ser reduzida a uma equação de primeira ordem para w=v'. Faço a substituição
w(x)=v'(x).
Então w'=v'' e a equação fica
(1+x)x\,w' + \bigl(2(1+x)+x^2\bigr)\,w = 0.

Passo 4

A equação para w é uma equação linear de primeira ordem separável em forma para \dfrac{w'}{w}. Reescrevo-a como
\frac{w'}{w} = -\frac{2(1+x)+x^2}{x(1+x)}.
É conveniente simplificar a fração do lado direito. Calculo o numerador:
2(1+x)+x^2 = x^2+2x+2.
Faço divisão algébrica do racional \dfrac{x^2+2x+2}{x(1+x)}=\dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x}. Subtraindo 1 obtém-se o resto:
\frac{x^2+2x+2}{x^2+x} = 1 + \frac{x+2}{x(x+1)}.
E decompondo \dfrac{x+2}{x(x+1)} em frações parciais:
\frac{x+2}{x(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}.
Portanto
\frac{x^2+2x+2}{x(1+x)} = 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}.
Com o sinal negativo:
\frac{w'}{w} = -1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1}.
Integro ambos os lados em x:
\ln|w| = \int\Bigl(-1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = -x - 2\ln|x| + \ln|x+1| + C.
Logo
w(x)=v'(x)=C_1\,e^{-x}\,x^{-2}(x+1),
onde C_1 é constante de integração.

Passo 5

Agora integro w para obter v:
v(x)=\int w(x)\,dx = C_1\int \frac{(1+x)e^{-x}}{x^2}\,dx + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Vou calcular o integral principal
I=\int \frac{(1+x)e^{-x}}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{e^{-x}}{x^2}+\frac{e^{-x}}{x}\right)\,dx.
Calculo \displaystyle \int\frac{e^{-x}}{x^2}\,dx por partes: tomo u=e^{-x} e dv=x^{-2}dx. Então du=-e^{-x}dx e v=-\dfrac{1}{x}. Assim
\int \frac{e^{-x}}{x^2}\,dx = uv - \int v\,du = -\frac{e^{-x}}{x} - \int\left(-\frac{1}{x}\right)\left(-e^{-x}\right)\,dx = -\frac{e^{-x}}{x} - \int\frac{e^{-x}}{x}\,dx.
Somando o termo \displaystyle \int\frac{e^{-x}}{x}\,dx que já aparece em I, há cancelamento:
I = \left(-\frac{e^{-x}}{x} - \int\frac{e^{-x}}{x}\,dx\right) + \int\frac{e^{-x}}{x}\,dx = -\frac{e^{-x}}{x} + C.
Portanto, podemos escolher (absorvendo constantes) uma primitiva simples:
v(x) = C_1\left(-\frac{e^{-x}}{x}\right) + C_2.

Passo 6

Retorno à expressão de y: como y=v(x)\,x, temos
y = x\left(C_1\left(-\frac{e^{-x}}{x}\right) + C_2\right) = -C_1 e^{-x} + C_2 x.
Renomeando constantes ( -C_1\mapsto C_2',\; C_2\mapsto C_1') obtemos a forma usual da solução geral:
y = C_1 x + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Note que y_1=x e y_2=e^{-x} são linearmente independentes (o Wronskiano W(x)=\det\begin{pmatrix}x & e^{-x}\\\ 1 & -e^{-x}\end{pmatrix}=-x e^{-x}-e^{-x}=-(1+x)e^{-x}\neq0 para x\neq-1), portanto a solução geral está correta em qualquer intervalo onde 1+x\neq0.

Resposta

y=C_1 x + C_2 e^{-x}

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