(1+x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0 ; y_{1}=x
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial ordinária
e informa que uma solução conhecida é
. O que o enunciado pede implicitamente é encontrar a solução geral da equação (ou, pelo menos, uma segunda solução linearmente independente para formar a combinação linear geral). As informações relevantes são:
- A EDO é linear, de segunda ordem, com coeficientes dependentes de
. - Uma solução particular conhecida é
.
Passo 2
Estratégia: quando se conhece uma solução
de uma EDO linear de segunda ordem homogênea, o método padrão para obter uma segunda solução é a “redução de ordem”: buscar
com
função desconhecida. Vou aplicar esse método passo a passo, explicando cada conta.
Primeiro, é conveniente colocar a equação na forma padrão
dividindo por
(assumindo
localmente):
Assim definimos
Passo 3
Agora aplico a redução de ordem. Ponho
Vou calcular
e
em termos de
,
,
(isso é mecânica básica de derivação de produto; não pule):
Substituo
,
,
na equação original (na forma dividida por
ou diretamente na forma original; uso a forma original para evitar frações desnecessárias):
Agora simplifico termo a termo. Primeiro expandindo:
Observe que
, cancelam-se. Restam os termos em
e
:
Esta é uma equação que não envolve
sem derivada: é uma equação de segunda ordem em
que, por dependência apenas de
e
, pode ser reduzida a uma equação de primeira ordem para
. Faço a substituição
Então
e a equação fica
Passo 4
A equação para
é uma equação linear de primeira ordem separável em forma para
. Reescrevo-a como
É conveniente simplificar a fração do lado direito. Calculo o numerador:
Faço divisão algébrica do racional
. Subtraindo 1 obtém-se o resto:
E decompondo
em frações parciais:
Portanto
Com o sinal negativo:
Integro ambos os lados em
:
Logo
onde
é constante de integração.
Passo 5
Agora integro
para obter
:
onde
é outra constante de integração. Vou calcular o integral principal
Calculo
por partes: tomo
e
. Então
e
. Assim
Somando o termo
que já aparece em
, há cancelamento:
Portanto, podemos escolher (absorvendo constantes) uma primitiva simples:
Passo 6
Retorno à expressão de
: como
, temos
Renomeando constantes (
) obtemos a forma usual da solução geral:
onde
e
são constantes arbitrárias. Note que
e
são linearmente independentes (o Wronskiano
para
), portanto a solução geral está correta em qualquer intervalo onde
.