\left(1-2 x-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2(1+x) y^{\prime}-2 y=0 ; y_{1}=x+1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
\left(1-2x-x^{2}\right)y''+2(1+x)y'-2y=0
e informa uma solução conhecida \;y_{1}=x+1.
O que se pede (implícito) é obter uma segunda solução linearmente independente e, com isso, a solução geral da equação linear homogênea.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente da segunda derivada: \;A(x)=1-2x-x^{2}.
  • Coeficiente da primeira derivada: \;B(x)=2(1+x).
  • Coeficiente do termo y: \;C(x)=-2.
  • Solução conhecida: \;y_{1}=x+1.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação):
Quando temos uma equação linear homogênea de segunda ordem e já conhecemos uma solução \;y_{1}, um método padrão e eficiente é a redução de ordem: procuramos uma segunda solução da forma
y=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. A ideia é transformar a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para v', porque a presença de \;y_{1} faz com que muitos termos se cancelem — isso facilita muito a conta na prova.
Antes de aplicar a técnica, explico a lógica algebraica que vamos usar: substitui-se y=v y_{1} na equação e usa-se que \;y_{1} satisfaz a equação original — daí sobram apenas termos envolvendo v' e v'' que levam a uma equação mais simples para v'.

Passo 3

Desenvolvimento geral da substituição (mostrando todos os passos).
Colocando
y=v\,y_{1},
temos
y'=v' y_{1}+v y_{1}',\qquad y''=v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''.
Substituindo na equação original \;A y'' + B y' + C y=0 obtemos
A\big(v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''\big)+B\big(v' y_{1}+v y_{1}'\big)+C v y_{1}=0.
Agrupando os termos em v, v' e v'':
A y_{1} v'' + \big(2A y_{1}'+B y_{1}\big) v' + v\big(A y_{1}''+B y_{1}'+C y_{1}\big)=0.
Como \;y_{1} é solução da equação original, vale
A y_{1}''+B y_{1}'+C y_{1}=0,
logo o termo com v cancela. Fica a equação de ordem reduzida
A y_{1} v'' + \big(2A y_{1}'+B y_{1}\big) v' = 0.
Esta é uma equação de primeira ordem para w=v'. Definindo w=v' obtemos
A y_{1} w' + \big(2A y_{1}'+B y_{1}\big) w = 0.
Que é uma equação linear de primeira ordem homogênea para w.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: calcular os coeficientes explícitos.
Recordando os coeficientes,
A(x)=1-2x-x^{2},\qquad B(x)=2(1+x),\qquad y_{1}=x+1,\qquad y_{1}'=1.
Calculemos o coeficiente multiplicando w na equação reduzida:
2A y_{1}'+B y_{1}=2A\cdot 1 + 2(1+x)(x+1).
Agora simplificar:
2(1-2x-x^{2}) + 2(1+x)^{2} =2\big(1-2x-x^{2} + (1+2x+x^{2})\big) =2\cdot 2 =4.
Portanto a equação para w fica
A y_{1} w' + 4 w =0,
ou escrevendo explicitamente
(1-2x-x^{2})(x+1)\,w' + 4 w =0.

Passo 5

Resolver a equação para w.
Escrevemos em forma padrão:
w' + \frac{4}{(1-2x-x^{2})(x+1)}\,w = 0.
Isto é uma equação linear homogênea de primeira ordem com solução por separação ou fator integrante. Podemos integrar diretamente:
\frac{w'}{w} = -\frac{4}{(1-2x-x^{2})(x+1)}.
Logo
\ln|w| = -\int \frac{4}{(1-2x-x^{2})(x+1)}\,dx + C.
Para integrar vamos simplificar usando a substituição t=x+1. Observe que
1-2x-x^{2}=2-(x+1)^{2}=2-t^{2},
e dx=dt. Assim
\int \frac{4}{(1-2x-x^{2})(x+1)}\,dx = \int \frac{4}{t(2-t^{2})}\,dt.
Fazendo frações parciais (ou uma decomposição conveniente):
procuramos constantes A,B tais que
\frac{4}{t(2-t^{2})}=\frac{A}{t}+\frac{B t}{2-t^{2}}.
Multiplicando por t(2-t^{2}) obtém-se
4 = A(2-t^{2}) + B t^{2} = 2A + (B-A)t^{2}.
Comparando coeficientes:
2A=4\Rightarrow A=2,\qquad B-A=0\Rightarrow B=2.
Assim
\frac{4}{t(2-t^{2})}=\frac{2}{t}+\frac{2t}{2-t^{2}}.
Integramos:
\int\left(\frac{2}{t}+\frac{2t}{2-t^{2}}\right)dt =2\ln|t| - \ln|2-t^{2}| + C =\ln\!\left(\frac{t^{2}}{2-t^{2}}\right)+C.
Voltando ao passo anterior, temos
\ln|w| = -\ln\!\left(\frac{t^{2}}{2-t^{2}}\right)+C = \ln\!\left(\frac{2-t^{2}}{t^{2}}\right)+C,
portanto
w = v' = K\frac{2-t^{2}}{t^{2}} = K\frac{2-(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}},
onde K é constante arbitrária multiplicativa.

Passo 6

Simplificar w e integrar para obter v.
Note que 2-(x+1)^{2}=1-2x-x^{2}=A(x). Logo
v' = K\frac{A(x)}{(x+1)^{2}}.
Usando t=x+1 novamente, escrevemos
v' = K\!\left(\frac{2}{t^{2}} - 1\right).
Integrando,
v = K\left(-\frac{2}{t} - x\right) + C_1 = K\left(-\frac{2}{x+1} - x\right) + C_1,
onde C_1 é outra constante de integração. Aqui é importante observar uma liberdade: a parte constante C_1 ao multiplicar y_{1} gera justamente um múltiplo de y_{1} na solução final, então esse termo não gera uma nova solução linearmente independente. Por isso podemos escolher C_1=0 (ou absorvê-lo em constante multiplicativa de y_{1}). Também podemos escolher K=1 para obter uma forma simples da segunda solução (qualquer K\neq 0 só escala a solução independente).
Tomando K=1 e C_1=0 para simplicidade,
v = -\frac{2}{x+1}-x.

Passo 7

Construir a segunda solução e a solução geral.
A segunda solução é
y_{2}=v\,y_{1}=\Big(-\frac{2}{x+1}-x\Big)(x+1).
Multiplicando e simplificando:
y_{2} = -2 - x(x+1) = -(x^{2}+x+2).
Uma constante multiplicativa não interessa para independência, então podemos escolher a versão positiva para ficar mais agradável:
y_{2}=x^{2}+x+2.
Verificação rápida de independência: y_{2} não é múltiplo escalar de y_{1}, e o wronskiano
W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}x+1 & x^{2}+x+2\\[4pt]1 & 2x+1\end{vmatrix} =(x+1)(2x+1)-(x^{2}+x+2)=x^{2}+2x-1,
que não é identicamente zero, então as soluções são linearmente independentes (exceto possivelmente em pontos isolados onde o wronskiano zera, que correspondem a singularidades dos coeficientes).
Logo a solução geral da equação é
y=C_{1}(x+1)+C_{2}(x^{2}+x+2),
com constantes arbitrárias C_{1},C_{2}.]

Resposta

y=C_{1}(x+1)+C_{2}(x^{2}+x+2)

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