x^{2} y^{\prime \prime}-20 y=0 ; y_{1}=x^{-4}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa uma solução conhecida
.
O que se espera: encontrar uma segunda solução linearmente independente e, assim, a solução geral da equação de segunda ordem (no domínio onde
). Vou listar as informações relevantes:
O que se espera: encontrar uma segunda solução linearmente independente
- Equação dada:
. - Solução conhecida:
. - Pedido implícito: achar uma segunda solução independente e a solução geral.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
para aplicar métodos usuais. Dividindo por
(valendo para
):
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Passo 3
Apresentar o método (redução de ordem) de forma didática. A ideia:
- Se
é uma solução conhecida, procuramos uma segunda solução da forma . - Calcular derivadas:
- Para simplificar, define-se
. Substituindo em e usando que satisfaz a equação, os termos em cancelam, restando uma equação de primeira ordem para :
- Essa equação linear tem solução
- Integrando
obtém-se e então . Há uma fórmula direta frequentemente usada:
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso atual. Como
, a expressão simplifica para
Usando a solução conhecida
:
Calcular a integral:
Tomando uma primitiva particular (pode escolher
pois constantes multiplicativas serão absorvidas depois), obtemos
Como multiplicar uma solução por constante não muda a independência, podemos escolher a forma mais simples
Passo 5
Verificar que
e
são linearmente independentes (cheque prático via Wronskiano). Calcular derivadas:
O Wronskiano é
Como
para
, as soluções são linearmente independentes no domínio
.
Passo 6
Conclusão lógica: por ser uma equação linear homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão
. Encontradas duas soluções linearmente independentes
e
, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções (escrevo a forma explícita na seção de resposta).