x^{2} y^{\prime \prime}-20 y=0 ; y_{1}=x^{-4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-20y=0
e informa uma solução conhecida \,y_{1}=x^{-4}.
O que se espera: encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2} e, assim, a solução geral da equação de segunda ordem (no domínio onde x\neq0). Vou listar as informações relevantes:
  • Equação dada: \,x^{2}y''-20y=0.
  • Solução conhecida: \,y_{1}=x^{-4}.
  • Pedido implícito: achar uma segunda solução independente e a solução geral.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 para aplicar métodos usuais. Dividindo por x^{2} (valendo para x\neq0):
y''-\frac{20}{x^{2}}y=0.
Logo
P(x)=0,\qquad Q(x)=-\frac{20}{x^{2}}.

Passo 3

Apresentar o método (redução de ordem) de forma didática. A ideia:
  • Se y_{1} é uma solução conhecida, procuramos uma segunda solução da forma \,y=v(x)\,y_{1}(x).
  • Calcular derivadas: y'=v'y_{1}+v y_{1}',\qquad y''=v''y_{1}+2v'y_{1}'+v y_{1}''.
  • Para simplificar, define-se u=v'. Substituindo em y''+P y'+Q y=0 e usando que y_{1} satisfaz a equação, os termos em v cancelam, restando uma equação de primeira ordem para u:
u' +\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\right)u=0.
  • Essa equação linear tem solução
u=C\exp\!\left(-\int\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\right)dx\right)=C\,y_{1}^{-2}e^{-\int P\,dx}.
  • Integrando u obtém-se v=\int u\,dx e então y_{2}=y_{1}v. Há uma fórmula direta frequentemente usada:
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso atual. Como P(x)=0, a expressão simplifica para
y_{2}=y_{1}\int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx.
Usando a solução conhecida \,y_{1}=x^{-4}:
\frac{1}{y_{1}^{2}}=\frac{1}{(x^{-4})^{2}}=x^{8}.
Calcular a integral:
\int x^{8}\,dx=\frac{x^{9}}{9}+C.
Tomando uma primitiva particular (pode escolher C=0 pois constantes multiplicativas serão absorvidas depois), obtemos
y_{2}=x^{-4}\cdot\frac{x^{9}}{9}=\frac{x^{5}}{9}.
Como multiplicar uma solução por constante não muda a independência, podemos escolher a forma mais simples
y_{2}=x^{5}.

Passo 5

Verificar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (cheque prático via Wronskiano). Calcular derivadas:
y_{1}=x^{-4},\quad y_{1}'=-4x^{-5};\qquad y_{2}=x^{5},\quad y_{2}'=5x^{4}.
O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=x^{-4}\cdot 5x^{4}-(-4x^{-5})\cdot x^{5}=5-(-4)=9.
Como W=9\neq0 para x\neq0, as soluções são linearmente independentes no domínio x\neq0.

Passo 6

Conclusão lógica: por ser uma equação linear homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão 2. Encontradas duas soluções linearmente independentes \,y_{1}=x^{-4} e \,y_{2}=x^{5}, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções (escrevo a forma explícita na seção de resposta).

Resposta

y=C_{1}x^{-4}+C_{2}x^{5}

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