e informa que uma solução conhecida é y_{1}=x. O que se pede (implícito) é encontrar a solução geral da equação de segunda ordem, ou seja, encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2} e escrever a combinação linear geral.
Dados relevantes:
A equação é de segunda ordem linear homogênea.
Foi fornecida uma solução particular y_{1}=x.
Objetivo: achar y_{2} independente de y_{1} e obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (isso facilita usar o método de redução de ordem). Dividindo toda a equação por x^{2} (válido para x\neq0) obtemos
y''-\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=0.
Aqui identificamos
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Explicação (simples) do porquê: a forma padrão é conveniente porque as fórmulas de redução de ordem e muitos resultados de teoria usam explicitamente os coeficientes P(x) e Q(x).
Passo 3
Apresentação do método de redução de ordem (ideia e derivação curta, para entender e saber usar na prova).
Ideia: procurar uma solução da forma
y=u(x)\,y_{1}(x),
onde y_{1} é a solução conhecida e u(x) é uma função desconhecida. Substituindo na equação padrão e aproveitando que y_{1} satisfaz a equação, reduzimos a ordem do problema a uma equação de primeira ordem para u'(x).
ou seja, raiz dupla r=1. Para raízes duplas em Euler-Cauchy, as soluções são x^{r} e x^{r}\ln|x|, daí novamente obtemos x e x\ln|x|. Isso confirma o resultado obtido por redução de ordem.