x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0 ; y_{1}=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-x y'+y=0
e informa que uma solução conhecida é y_{1}=x. O que se pede (implícito) é encontrar a solução geral da equação de segunda ordem, ou seja, encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2} e escrever a combinação linear geral.
Dados relevantes:
  • A equação é de segunda ordem linear homogênea.
  • Foi fornecida uma solução particular y_{1}=x.
  • Objetivo: achar y_{2} independente de y_{1} e obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (isso facilita usar o método de redução de ordem). Dividindo toda a equação por x^{2} (válido para x\neq0) obtemos
y''-\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=0.
Aqui identificamos
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Explicação (simples) do porquê: a forma padrão é conveniente porque as fórmulas de redução de ordem e muitos resultados de teoria usam explicitamente os coeficientes P(x) e Q(x).

Passo 3

Apresentação do método de redução de ordem (ideia e derivação curta, para entender e saber usar na prova).
Ideia: procurar uma solução da forma
y=u(x)\,y_{1}(x),
onde y_{1} é a solução conhecida e u(x) é uma função desconhecida. Substituindo na equação padrão e aproveitando que y_{1} satisfaz a equação, reduzimos a ordem do problema a uma equação de primeira ordem para u'(x).
Desenvolvimento passo a passo:
  • Seja y=u y_{1}. Então
y' = u' y_{1} + u y_{1}',\qquad y'' = u'' y_{1} + 2u' y_{1}'+u y_{1}''.
  • Substituindo em y''+P y'+Q y=0:
u'' y_{1} + 2u' y_{1}'+u y_{1}'' + P\big(u' y_{1}+u y_{1}'\big) + Q u y_{1}=0.
  • Agrupando termos em u, u', u'' e lembrando que y_{1} satisfaz a equação original (ou seja, y_{1}''+P y_{1}'+Q y_{1}=0), o termo com u zera. Fica
u'' y_{1} + u'\big(2y_{1}'+P y_{1}\big)=0.
  • Colocando w=u' obtemos uma equação de primeira ordem para w:
w' y_{1} + w\big(2y_{1}'+P y_{1}\big)=0.
  • Esta é linear e separável em w. A solução geral (fazendo as manipulações usuais) dá
w=u' = C\,\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}.
  • Tomando uma constante multiplicativa C=1 para obter uma primitiva particular, integramos e obtemos
u(x)=\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Assim a segunda solução pode ser escrita como
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Observação didática: essa fórmula é muito útil na prova quando já se conhece uma solução; ela transforma o problema em calcular uma integral simples.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Já temos P(x)=-\dfrac{1}{x} e y_{1}(x)=x.
Calcule primeiro o fator exponencial:
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\int \big(-\tfrac{1}{x}\big)\,dx}=e^{\int \tfrac{1}{x}\,dx}=e^{\ln|x|}=|x|.
(Em provas geralmente toma-se uma convenção de domínio; para x>0 simplifica para x. Vou manter |x| para ser correto em x<0 também.)
Agora o integrando da fórmula é
\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{|x|}{x^{2}}=\frac{1}{|x|}.
Portanto precisamos integrar \dfrac{1}{|x|}. Para x\neq0 tem
\int \frac{1}{|x|}\,dx=\ln|x| + C.
Assim uma primitiva conveniente é \ln|x|. Multiplicando por y_{1}=x obtemos a segunda solução:
y_{2}(x)=x\ln|x|.

Passo 5

Verificação rápida de independência linear (importante: soluções devem ser linearmente independentes).
Calcule o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x\ln|x| \\\\ 1 & 1+\ln|x| \end{vmatrix}.
Determinante:
W = x(1+\ln|x|) - x\ln|x| \cdot 1 = x.
Como W(x)=x e x\neq0 na região onde dividimos por x^{2}, temos W\neq0 ali — logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Passo 6

Comentário alternativo (útil na prova): reconhecer a equação como uma equação de Euler-Cauchy e resolver pelo ansatz y=x^{r}. Se fizer isso:
x^{2}(r(r-1)x^{r-2}) - x(r x^{r-1}) + x^{r} = 0
leva à equação característica
r(r-1)-r+1=0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)^{2}=0,
ou seja, raiz dupla r=1. Para raízes duplas em Euler-Cauchy, as soluções são x^{r} e x^{r}\ln|x|, daí novamente obtemos x e x\ln|x|. Isso confirma o resultado obtido por redução de ordem.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x\ln|x|

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