a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
n)
o)
p)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
n)
o)
p)
Passo 1
Temos uma coleção de inequações, algumas racionais e outras polinomiais, nos itens (a) até §. O que precisamos aqui é aprender a resolver inequações do tipo
ou produtos de fatores lineares, usando análise de sinais para descobrir onde essas expressões são positivas, negativas ou nulas.
Passo 2
O método geral para uma inequação racional
é:
- Encontrar as raízes de
(quando fica zero) e de (quando dá divisão por zero). - Marcar esses pontos críticos no eixo real e dividir em intervalos.
- Construir um quadro de sinais: testar o sinal de cada fator em cada intervalo e, a partir disso, o sinal de
. - Escolher os intervalos que satisfazem a desigualdade, lembrando de incluir ou excluir as raízes conforme for
ou .
Passo 3
Para o grupo I, as inequações de fração linear sobre linear nos itens (a), (b), ©, (e), (h), (i), (j) e (o) seguem o mesmo processo:
- Encontramos as raízes do numerador e do denominador.
- Montamos o quadro de sinais e identificamos onde a razão é
. - No caso de (o), o denominador
nunca anula, então a inequação fica .
Passo 4
Para o grupo II, as inequações de produtos de fatores lineares (d), (f), (g), (l), (m) e (n) usam análise de sinais de polinômios:
- Fatoramos em fatores lineares.
- Identificamos as raízes que anulam cada fator.
- Montamos o quadro de sinais e vemos em quais intervalos o produto fica
. - Em (n), o fator
é sempre positivo, então basta olhar o sinal de .
Passo 5
No item §, temos
. Note que
e o denominador é exatamente
, que nunca se anula (discriminante negativo). Assim, para todo
,
. A inequação
vira simplesmente
.
Passo 6
Agora que entendemos o método, segue a lista de soluções em cada item.
Resposta
a) (-1,\tfrac12)
b) (-\infty,1] \cup (3,\infty)
c) (-\infty,-\tfrac13) \cup (2,\infty)
d) (-3,\tfrac12)
e) [1,2)
f) (-\infty,0] \cup [\tfrac12,\infty)
g) (-\infty,-2) \cup (2,\infty)
h) (3,\tfrac{14}3)
i) (-\infty,\tfrac32) \cup [\tfrac95,\infty)
j) (-\infty,\tfrac32) \cup (2,\infty)
l) (-1,0) \cup (\tfrac12,\infty)
m) (-\infty,\tfrac12) \cup (3,\infty)
n) (-\infty,\tfrac32)
o) (-\infty,3)
p) [1,\infty)
b) (-\infty,1] \cup (3,\infty)
c) (-\infty,-\tfrac13) \cup (2,\infty)
d) (-3,\tfrac12)
e) [1,2)
f) (-\infty,0] \cup [\tfrac12,\infty)
g) (-\infty,-2) \cup (2,\infty)
h) (3,\tfrac{14}3)
i) (-\infty,\tfrac32) \cup [\tfrac95,\infty)
j) (-\infty,\tfrac32) \cup (2,\infty)
l) (-1,0) \cup (\tfrac12,\infty)
m) (-\infty,\tfrac12) \cup (3,\infty)
n) (-\infty,\tfrac32)
o) (-\infty,3)
p) [1,\infty)