a) 2 x-1x+1<0
b) 1-x3-x >= 0
c) x-23 x+1>0
d) (2 x-1)(x+3)<0
e) x-1x-2 <= 0
f) x(2 x-1) >= 0
g) (x-2)(x+2)>0
h) 2 x-1x-3>5
i) x2 x-3 <= 3
j) x-12-x<1
l) x(2 x-1)(x+1)>0
m) (2 x-1)(x-3)>0
n) (2 x-3)(x^2+1)<0
o) x-3x^2+1<0
p) x^3-1x^2+x+1 >= 0

Passo 1

Temos uma coleção de inequações, algumas racionais e outras polinomiais, nos itens (a) até §. O que precisamos aqui é aprender a resolver inequações do tipo P(x)/Q(x) ou produtos de fatores lineares, usando análise de sinais para descobrir onde essas expressões são positivas, negativas ou nulas.

Passo 2

O método geral para uma inequação racional P(x)Q(x), (<0, >0, <=0, >=0) é:
  1. Encontrar as raízes de P(x) (quando fica zero) e de Q(x) (quando dá divisão por zero).
  2. Marcar esses pontos críticos no eixo real e dividir em intervalos.
  3. Construir um quadro de sinais: testar o sinal de cada fator em cada intervalo e, a partir disso, o sinal de P(x)Q(x).
  4. Escolher os intervalos que satisfazem a desigualdade, lembrando de incluir ou excluir as raízes conforme for <=, >= ou <,>.

Passo 3

Para o grupo I, as inequações de fração linear sobre linear nos itens (a), (b), ©, (e), (h), (i), (j) e (o) seguem o mesmo processo:
  • Encontramos as raízes do numerador e do denominador.
  • Montamos o quadro de sinais e identificamos onde a razão é <0, <=0, >0, >=0.
  • No caso de (o), o denominador x^2+1 nunca anula, então a inequação fica x-3<0.

Passo 4

Para o grupo II, as inequações de produtos de fatores lineares (d), (f), (g), (l), (m) e (n) usam análise de sinais de polinômios:
  • Fatoramos em fatores lineares.
  • Identificamos as raízes que anulam cada fator.
  • Montamos o quadro de sinais e vemos em quais intervalos o produto fica <0, <=0, >0, >=0.
  • Em (n), o fator x^2+1 é sempre positivo, então basta olhar o sinal de 2x-3.

Passo 5

No item §, temos x^3-1x^2+x+1. Note que x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) e o denominador é exatamente x^2+x+1, que nunca se anula (discriminante negativo). Assim, para todo x, x^3-1x^2+x+1=x-1. A inequação >=0 vira simplesmente x-1>=0.

Passo 6

Agora que entendemos o método, segue a lista de soluções em cada item.

Resposta

a) (-1,\tfrac12)
b) (-\infty,1] \cup (3,\infty)
c) (-\infty,-\tfrac13) \cup (2,\infty)
d) (-3,\tfrac12)
e) [1,2)
f) (-\infty,0] \cup [\tfrac12,\infty)
g) (-\infty,-2) \cup (2,\infty)
h) (3,\tfrac{14}3)
i) (-\infty,\tfrac32) \cup [\tfrac95,\infty)
j) (-\infty,\tfrac32) \cup (2,\infty)
l) (-1,0) \cup (\tfrac12,\infty)
m) (-\infty,\tfrac12) \cup (3,\infty)
n) (-\infty,\tfrac32)
o) (-\infty,3)
p) [1,\infty)

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