Escrever na forma de uma integral tripla iterada integral triplaT f(x, y, z) d V onde T é a região interior ao cilindro x^2-x+y^2=0 e x^2+y^2+z^2=1. Escolha uma opção:
a. integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 f(x, y, z) d z d y d x
b. integral0^1 integral-raizx-x^2^raizx-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 f(x, y, z) d z d y d x
c. integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 f(x, y, z) d z d y d x
d. integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-x^2-y^2 f(x, y, z) d z d y d x
e. integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

O exercício pede para escrever o triplo integral de uma função f(x,y,z) sobre a região T que é o interior do cilindro x^2 - x + y^2 = 0 e da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1. O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar encontrar os limites de integração em x, y e z usando o cilindro para projetar no plano xy e a esfera para os limites em z.

Passo 2

Começamos analisando o cilindro. Rewrite x^2 - x + y^2 = 0 completando quadrado em x:
(x - tfrac12)^2 + y^2 = tfrac14
Isso mostra que na projeção no plano xy temos um círculo de raio tfrac12 centrado em (tfrac12,0). Assim x varia de 0 a 1 e, para cada x,
-raiztfrac14 - (x - tfrac12)^2;<= y <=; raiztfrac14 - (x - tfrac12)^2

Passo 3

Reconhecendo que
tfrac14 - (x - tfrac12)^2 = x - x^2,
podemos escrever os limites de y como
-raizx - x^2 <= y <= raizx - x^2

Passo 4

Para cada ponto (x,y) nessa projeção, a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 dá os limites de z:
-raiz1 - x^2 - y^2 <= z <= raiz1 - x^2 - y^2

Passo 5

Portanto, o triplo integral iterado fica:
integral0^1 integral-raizx - x^2^raizx - x^2 integral-raiz1 - x^2 - y^2^raiz1 - x^2 - y^2 f(x, y, z) ,dz,dy,dx

Resposta

$$\n\int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{x - x2}}{\sqrt{x - x^2}} \int_{-\sqrt{1 - x^2 - y2}}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} f(x, y, z) ,dz,dy,dx
$$

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