Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=c1 e^2 t+c2 e^-3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem cuja solução geral seja y = c1e^2t + c2e^-3t. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e o método dos polinômios característicos.

Passo 2

Para equações lineares homogêneas de segunda ordem, a gente supõe uma solução do tipo y=e^rt. Substituindo em y'' + ay' + by = 0 gera o polinômio característico r^2 + ar + b = 0. As raízes desse polinômio são exatamente os expoentes que aparecem na solução geral.

Passo 3

Como queremos raízes r1 = 2 e r2 = -3, montamos o polinômio característico como
(r - 2)(r + 3) = 0,
que ao expandir dá
r^2 + r - 6 = 0

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é y = c1e^2t + c2e^-3t é
y'' + y' - 6y = 0

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