1. Se f(x)=x-1x+1, determine o valor de y tal que y=f(x)-f(-x)1+f(x) f(-x).

Passo 1

O enunciado diz: “Se y ;=;f(x)-f(-x)1+f(x)f(-x) , determine
Isso é um exercício de manipulação de funções racionais e simplificação de frações. Vamos precisar de:
  1. Calcular substituindo por .
  2. Subtrair duas frações (para achar o numerador).
  3. Somar e multiplicar frações (para achar o denominador).
  4. Simplificar tudo usando fatoração e diferença de quadrados.

Passo 2

Calcular f(x)=x-1x+1;Longrightarrow; f(-x)=-x-1-x+1 . Basta trocar f(-x) =-(x+1),1-x, =x+1x-1, por em
Para simplificar, note que e , então
porque (multiplicamos numerador e denominador por ).

Passo 3

Montar o numerador x-1x+1;-;x+1x-1 :
(x-1)^2-(x+1)^2x^2-1
Para subtrair, colocamos no mesmo denominador (x^2-2x+1)-(x^2+2x+1) = -4x :
boxedf(x)-f(-x)=-4x,x^2-1,
Expandindo:
e .
Então o numerador vira
Logo

Passo 4

Agora o denominador 1 + x-1x+1;cdot;x+1x-1 :
1 + 1 = 2
Perceba que boxed1+f(x)f(-x)=2 (as frações se “cancelam”). Então dá

Passo 5

Juntando tudo em
y = f(x)-f(-x)1+f(x)f(-x) = -4xx^2-12 = -4x2,(x^2-1) = -2x,x^2-1,
Se você quiser, pode reescrever como
, usando a propriedade de fator .

Resposta

boxedy = -2x,x^2-1,

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