Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow 1 / 2} \sqrt[3]{\frac{4 x^{2}+4 x-3}{4 x^{2}-1}}
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular
limx to tfrac12 raiz[3]4x^2 + 4x - 34x^2 - 1
Isso é um problema de limite, mais especificamente de limite de uma função composta (a raiz cúbica de uma fração). Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Noções de limites (substituição direta e indeterminações).
  2. Como fatorar polinômios (diferença de quadrados e fatoração de quadrática).
  3. A propriedade de que, se a parte de dentro da raiz tende a um valor, a raiz cúbica disso tende à raiz cúbica desse valor (continuidade da função ).

Passo 2

Primeiro, tento a substituição direta no interior da raiz cúbica:
4x^2 + 4x - 34x^2 - 1g|x = tfrac12 = 4l(tfrac14r) + 4l(tfrac12r) - 34l(tfrac14r) - 1 = 1 + 2 - 31 - 1 = 00
Chegamos em , que é uma forma indeterminada. Então não dá pra desligar o cérebro e substituir direto na raiz – precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador.
  1. Numerador 4x^2 + 4x - 3 = (2x - 1)(2x + 3) : é uma quadrática. A gente procura raízes ou usa fórmula, mas dá pra ver que ela se separa em
4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)
  1. Denominador 4x^2 + 4x - 34x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 3)(2x - 1)(2x + 1) é diferença de quadrados:
Então a fração vira

Passo 4

Como (2x - 1)(2x + 3)(2x - 1)(2x + 1) ;=; 2x + 32x + 1, x neq tfrac12 , o fator também tende a zero, mas agora podemos cancelar esse fator comum antes de levar a substituição:
Assim não temos mais indeterminação.

Passo 5

Agora reescrevo o limite original usando essa forma simplificada dentro da raiz cúbica:
limx to tfrac12 raiz[3]4x^2 + 4x - 34x^2 - 1 = limx to tfrac12 raiz[3]2x + 32x + 1
Como a função = raiz[3]limx to tfrac12 2x + 32x + 1 é contínua, dá pra levar o limite pra dentro:
2l(tfrac12r) + 32l(tfrac12r) + 1 = 1 + 31 + 1 = 42 = 2
Agora substituo na fração:

Resposta

boxedraiz[3]2

Exercícios relacionados