Isso é um problema de limite, mais especificamente de limite de uma função composta (a raiz cúbica de uma fração). Para resolver, a gente vai precisar de:
Noções de limites (substituição direta e indeterminações).
Como fatorar polinômios (diferença de quadrados e fatoração de quadrática).
A propriedade de que, se a parte de dentro da raiz tende a um valor, a raiz cúbica disso tende à raiz cúbica desse valor (continuidade da função ).
Passo 2
Primeiro, tento a substituição direta no interior da raiz cúbica:
Chegamos em , que é uma forma indeterminada. Então não dá pra desligar o cérebro e substituir direto na raiz – precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar numerador e denominador.
Numerador 4x^2 + 4x - 3 = (2x - 1)(2x + 3) : é uma quadrática. A gente procura raízes ou usa fórmula, mas dá pra ver que ela se separa em
Como (2x - 1)(2x + 3)(2x - 1)(2x + 1) ;=; 2x + 32x + 1, x neq tfrac12 , o fator também tende a zero, mas agora podemos cancelar esse fator comum antes de levar a substituição:
Assim não temos mais indeterminação.
Passo 5
Agora reescrevo o limite original usando essa forma simplificada dentro da raiz cúbica:
limx to tfrac12 raiz[3]4x^2 + 4x - 34x^2 - 1 = limx to tfrac12 raiz[3]2x + 32x + 1
Como a função = raiz[3]limx to tfrac12 2x + 32x + 1 é contínua, dá pra levar o limite pra dentro: