1. Dadas as funções f(x)=1x-2 e g(x)=raiz2-x-1 :
    a) Determine os conjuntos D(f) e Im(f).
    b) Determine os conjuntos D(g) e Im(g).
    c) Defina a função f circ g e determine o conjunto D(f circ g).
    d) Determine o intervalo onde f circ g é contínua.
  2. Determine o(s) valor(es) da constante k in R que tornam a função contínua em (-infty, infty). Esboce o gráfico da função resultante.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado manda a gente trabalhar com duas funções
f(x)=1x-2e g(x)=raiz2-x-1
a) achar domínio e imagem de f
b) achar domínio e imagem de g
c) compor e achar domínio dessa composição
d) dizer onde é contínua
3) depois tem uma parte pra achar um k que deixa uma função contínua em e desenhar o gráfico.
Conteúdo: domínio, imagem, composição de funções e continuidade. Vamos precisar lembrar:
  • Domínio: todo x que não “quebra” a fórmula (divisão por zero ou raiz de negativo).
  • Imagem: valores que a função de fato “ganha” quando x percorre o domínio.
  • Composição: .
  • Continuidade: se não há “furos” ou “saltos” no gráfico dentro do domínio.

Passo 2

Domínio de D(f)=xin R:xneq2: não pode ter divisão por zero, então Im(f)= Rsetminus0, ou seja
Imagem de : atinge qualquer real, menos zero, porque pra ficar zero no numerador teria que 1=0 (impossível). Logo

Passo 3

Domínio de 2-x>=0;Longrightarrow;x<=2,: o radicando tem que ser D(g)=(-infty,2], isto é
Im(g)=[-1,infty)
então
Agora a imagem: varia de 0 (quando ) até (quando ). Subtraindo 1, fica de até . Assim

Passo 4

Composição (fcirc g)(x) =fl(g(x)r) =1,g(x)-2, =1raiz2-x-1-2 =1raiz2-x-3 :(a) aplicar D(fcirc g)=(-infty,2]setminus-7 =(-infty,-7),cup,(-7,2] e depois :
Domínio de precisa satisfazer simultaneamente
  1. , ou seja .
  2. evitar divisão por zero em : , logo , isto é .
    Juntando dá

Passo 5

A composição de duas funções contínuas (naqueles pontos do domínio) é contínua.
  • fcirc g é contínua em (-infty,-7)cup(-7,2] é contínua em todo .
  • é contínua em .
    Em , o “u” vale . Já eliminamos pois aí e derrete a divisão. Nos outros pontos de não há furo nem raiz de negativo, então
éí

Passo 6

O enunciado pede valores de pra uma certa função ficar contínua em , mas ele não disse qual é a regra dessa função com parâmetro . Sem saber a expressão certinha, não dá pra achar quais garantem continuidade nem fazer o esboço do gráfico.

Resposta

a)
b)
c)
d) é contínua em
3) Não foi fornecida a função que depende de , então não é possível determinar os valores de nem desenhar o gráfico.

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