Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{4 y^{3}+2 y^{2}-5}{8 y^{3}+y+2}
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular
limyto -infty 4y^3 + 2y^2 - 58y^3 + y + 2
Isso é um limite de uma função racional quando a variável vai pra menos infinito. O conteúdo aqui é “limites no infinito” e o truque é saber que, para funções racionais (polinômios no numerador e denominador), só importa o termo de maior grau. Vamos precisar dividir tudo pelo maior poder de , que aqui é , e usar que termos como , etc. vão a zero quando .

Passo 2

Primeiro, identifique o termo de maior grau em cima e embaixo: é 4y^3 + 2y^2 - 58y^3 + y + 2 = 4y^3y^3 + 2y^2y^3 - 5y^3 8y^3y^3 + yy^3 + 2y^3 = 4 + 2y - 5y^38 + 1y^2 + 2y^3 . Então a gente divide numerador e denominador por :

Passo 3

Agora, usamos a teoria de limites no infinito:
  • Quando 4 + 0 - 08 + 0 + 0 = 48 , qualquer .
  • Logo , , , .
Assim a expressão fica

Passo 4

Simplificando 48 = 12 , dá

Resposta

limyto -infty 4y^3 + 2y^2 - 58y^3 + y + 2 = 12

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