Se f(z)=1z(z^2+1)(z-2)^2, encontre Res(f ; 2).
Dica: Lembre-se que se f tem um polo de ordem m em z0, então
Res(f(z), z0)=1(m-1)! cdot lim z z0 d^m-1d z^m-1((z-z0)^m f(z))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(z) = \frac{1}{z(z{2}+1)(z-2){2}} $ e precisamos encontrar o resíduo dessa função no ponto $ z = 2 $. Isso faz parte do estudo de resíduos em funções racionais, que é uma ferramenta poderosa na análise complexa para calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de singularidade que $ f(z) $ tem em $ z = 2 $. Observando o denominador, vemos que temos $ (z-2)^{2} $, o que indica que $ z = 2 $ é um polo de ordem 2 (ou seja, um polo duplo).

Passo 3

Como temos um polo de ordem $ m = 2 $, vamos usar a fórmula do resíduo para polos de ordem $ m $. A fórmula é:
m = 2
Substituindo $ m = 2 $ e $ z_{0} = 2 $:
m

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 cdot 1z(z^2+1)(z-2)^2) = 1z(z^2+1)
Então, a fórmula do resíduo fica:
Res(f(z), 2) = lim z 2 ddz ( 1z(z^2+1) )

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função $ \frac{1}{z(z^{2}+1)} $. Vamos usar a regra do quociente:
Se $ h(z) = \frac{u(z)}{v(z)} $, então $ h’(z) = \frac{u’(z)v(z) - u(z)v’(z)}{[v(z)]^{2}} $.
Aqui, $ u(z) = 1 $ e $ v(z) = z(z^{2}+1) $. Calculando as derivadas:
1z(z^2+1)
h(z) = u(z)v(z)
h'(z) = u'(z)v(z) - u(z)v'(z)[v(z)]^2
Aplicando a regra do quociente:
u(z) = 1

Passo 6

Agora, vamos substituir $ z = 2 $ na derivada que encontramos:
z = 2

Resposta

Portanto, o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 2 $ é $ \boxed{-\dfrac{13}{100}} $.

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