Questão 2. O valor da integral trigonométrica integral0^pi / 2 cos ^3(x) sen^3(x) d x é:
(e) 112.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral trigonométrica integral0^pi/2cos^3(x),sin^3(x),dx. Esse assunto é integração de potências de seno e cosseno; para resolver, vamos usar a identidade sin^2x + cos^2x = 1 e a substituição u=sin(x).

Passo 2

Como as potências de seno e cosseno são ímpares, separamos um fator cos(x),dx e reescrevemos cos^2(x)=1-sin^2(x). Fazendo u=sin(x) e du=cos(x),dx e trocando os limites de x=0to u=0 e x=pi/2to u=1, a integral vira:
integral0^pi/2cos^3(x)sin^3(x),dx =integral0^pi/2(1-sin^2(x)),sin^3(x),cos(x),dx =integral0^1(1-u^2),u^3,du

Passo 3

Agora é só expandir e integrar:
integral0^1(u^3-u^5),du =gl[u^44-u^66gr]0^1 =14-16 =3-212 =112

Resposta

112

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