Calcule as seguintes integrais utilizando das técnicas de integração partes, ou substituição, ou substituição trigonométrica, ou integrais trigonométricas, ou por frações parciais.
integral1^2 (ln x)^2x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 (ln x)^2x^3 , dx. Esta questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas como integração por partes e substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos chamar de u e dv para aplicar a integração por partes. A regra de integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, queremos escolher u de forma que sua derivada seja mais simples, e dv que possa ser facilmente integrado. Vamos escolher:
u = (ln x)^2 e dv = 1x^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v.
Primeiro, derivamos u:
du = ddx ( (ln x)^2 ) , dx = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx
Em seguida, integramos dv para encontrar v:
v = integral 1x^3 , dx = integral x^-3 , dx = x^-2-2 + C = -12x^2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (ln x)^2x^3 , dx = (ln x)^2 ( -12x^2 ) - integral ( -12x^2 ) cdot 2 ln xx , dx
Simplificando:
= -(ln x)^22x^2 + integral ln xx^3 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral ln xx^3 , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes a esta integral.
Escolhemos:
u = ln x e dv = 1x^3 , dx
Calculamos du e v:
du = 1x , dx e v = integral x^-3 , dx = -12x^2

Passo 6

Aplicamos a integração por partes novamente:
integral ln xx^3 , dx = ln x ( -12x^2 ) - integral ( -12x^2 ) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln x2x^2 + 12 integral 1x^3 , dx
Calculamos a última integral:
integral 1x^3 , dx = integral x^-3 , dx = x^-2-2 + C = -12x^2
Portanto:
= -ln x2x^2 - 14x^2 + C

Passo 7

Voltemos à expressão anterior onde tínhamos:
integral (ln x)^2x^3 , dx = -(ln x)^22x^2 + integral ln xx^3 , dx
Substituindo o resultado da segunda integração por partes:
= -(ln x)^22x^2 - ln x2x^2 - 14x^2 ) + C
Simplificando:
= -(ln x)^22x^2 + ln x2x^2 + 14x^2 + C

Passo 8

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2. Então, nossa expressão final sem a constante C será:
[ -(ln x)^22x^2 + ln x2x^2 + 14x^2 ]1^2
Vamos calcular cada termo nos limites de integração.

Passo 9

Primeiro, para x = 2:
-(ln 2)^22 cdot 4 + ln 22 cdot 4 + 14 cdot 4 = -(ln 2)^28 + ln 28 + 116
Em seguida, para x = 1:
-(ln 1)^22 cdot 1 + ln 12 cdot 1 + 14 cdot 1 = -0 + 0 + 14

Passo 10

Subtraindo os valores:
( -(ln 2)^28 + ln 28 + 116 ) - ( 14 ) = -(ln 2)^28 + ln 28 + 116 - 416
Simplificando:
= -(ln 2)^28 + ln 28 - 316

Resposta

A integral integral1^2 (ln x)^2x^3 , dx é igual a:
-(ln 2)^28 + ln 28 - 316

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