Calcule as seguintes integrais utilizando das técnicas de integração partes, ou substituição, ou substituição trigonométrica, ou integrais trigonométricas, ou por frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esta questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas como integração por partes e substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos chamar de
e
para aplicar a integração por partes. A regra de integração por partes é dada por:
Aqui, queremos escolher
de forma que sua derivada seja mais simples, e
que possa ser facilmente integrado. Vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
Primeiro, derivamos
:
Em seguida, integramos
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes a esta integral.
Escolhemos:
Calculamos
e
:
Passo 6
Aplicamos a integração por partes novamente:
Simplificando:
Calculamos a última integral:
Portanto:
Passo 7
Voltemos à expressão anterior onde tínhamos:
Substituindo o resultado da segunda integração por partes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2. Então, nossa expressão final sem a constante
será:
Vamos calcular cada termo nos limites de integração.
Passo 9
Primeiro, para
:
Em seguida, para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a: